(0)

\(A\)が完備であるとき、任意のコーシー列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)に対し、ある\(a\in A\)が存在して、\(\lim d\left(a_{n},a\right)=0\)となる。
このとき明らかに、任意のコーシー列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)に対し、ある\(a\in X\)が存在して、\(\lim d\left(a_{n},a\right)=0\)ならば\(a\in A\)である。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(X=\left(0,1\right)\)として通常距離をとり部分集合\(A\)を\(A=X\)とすると、\(A\)は全体集合なので閉集合であるが、コーシー列\(\left(a_{n}=\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の収束先0は\(0\notin A\)であるので完備ではない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

(0)-2

\(\Rightarrow\)

対偶で示す。
\(A\)が閉集合でないと仮定すると、\(A\)のある点列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の収束先\(a\)は\(a\notin A\)となる。
収束先が存在するので、この点列はコーシー列であるが、コーシー列で収束先\(a\)が\(a\notin A\)であるので完備ではない。
故に\(A\)は閉集合でないならば完備ではないので対偶をとると、\(\Rightarrow\)が示される。