位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)がある。
\(x\in X\)を含む開集合を\(U_{x}\)とする。
(1)
集積点を持たないことと、\(\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \)は同値である。
すなわち、
\[
A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\]
となる。
(2)
孤立点を持たないことと、\(\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \)は同値である。
すなわち、
\[
A^{s}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\}
\]
となる。
-
\(A^{d}\)は\(A\)の導集合
\(A^{s}\)は\(A\)の孤立点全体の集合
(1)
集積点を持たないとき、\(A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となる。
ここで、
\begin{align*}
U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset & \Leftrightarrow U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} ^{c}=\emptyset\\
& \Leftrightarrow U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\end{align*}
であるので、\(A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \)となる。
(2)
孤立点を持たないとき、\(A^{s}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \)となる。
ここで、
\begin{align*}
\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & \Leftrightarrow\begin{cases}
\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & x\in A\\
\top & x\notin A
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\}
\end{align*}
であるので、
\begin{align*}
A^{s}=\emptyset & \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \\
& \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \\
& \Leftrightarrow\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\}
\end{align*}
となる。
(2)-2
途中のみ。
\begin{align*}
\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap\left(A\cap\left(\left\{ x\right\} ^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)\right)\\
& \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap\left(\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\right)\\
& \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\left(U_{x}\cap\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\right)\cup\left(U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} \right)\\
& \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\\
& \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\begin{cases}
\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left\{ x\right\} & x\in A\\
U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right) & x\notin A
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow\begin{cases}
\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\nsubseteq\left\{ x\right\} & x\in A\\
\top & x\notin A
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow\begin{cases}
\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset & x\in A\\
\top & x\notin A
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow\begin{cases}
U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} & x\in A\\
\top & x\notin A
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | 位相空間で集積点・孤立点を持たないとき |
URL | https://www.nomuramath.com/g5ka9a9s/ |
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