位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)がある。
\(x\in X\)を含む開集合を\(U_{x}\)とする。
すなわち、
\[ A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \] となる。
すなわち、
\[ A^{s}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \] となる。
\(A^{s}\)は\(A\)の孤立点全体の集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)がある。
\(x\in X\)を含む開集合を\(U_{x}\)とする。
(1)
集積点を持たないことと、\(\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \)は同値である。すなわち、
\[ A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \] となる。
(2)
孤立点を持たないことと、\(\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \)は同値である。すなわち、
\[ A^{s}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \] となる。
-
\(A^{d}\)は\(A\)の導集合\(A^{s}\)は\(A\)の孤立点全体の集合
(1)
集積点を持たないとき、\(A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となる。ここで、
\begin{align*} U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset & \Leftrightarrow U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} ^{c}=\emptyset\\ & \Leftrightarrow U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \end{align*} であるので、\(A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \)となる。
(2)
孤立点を持たないとき、\(A^{s}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \)となる。ここで、
\begin{align*} \left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & \Leftrightarrow\begin{cases} \left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & x\in A\\ \top & x\notin A \end{cases}\\ & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \end{align*} であるので、
\begin{align*} A^{s}=\emptyset & \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall x\in X,\forall U_{x}\in\mathcal{O},x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall x\in A,\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \end{align*} となる。
(2)-2
途中のみ。\begin{align*} \left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap A & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap\left(A\cap\left(\left\{ x\right\} ^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne U_{x}\cap\left(\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\left(U_{x}\cap\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\right)\cup\left(U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \ne\begin{cases} \left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left\{ x\right\} & x\in A\\ U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right) & x\notin A \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\nsubseteq\left\{ x\right\} & x\in A\\ \top & x\notin A \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset & x\in A\\ \top & x\notin A \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} & x\in A\\ \top & x\notin A \end{cases}\\ & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow U_{x}\cap A\ne\left\{ x\right\} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 位相空間で集積点・孤立点を持たないとき |
| URL | https://www.nomuramath.com/g5ka9a9s/ |
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空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
\[
X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\}
\]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[
\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A
\]
導集合・孤立点全体の集合の別表現
\[
A^{d}\Leftrightarrow\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right)
\]
位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合
\[
A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}
\]