(1)

任意の\(a\in A\)に対し、\(0\leq d\left(x,a\right)\)なので、\(d\left(x,A\right)=\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \geq0\)より題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} d\left(x,A\right)=0 & \Leftrightarrow\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} =0\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,d\left(x,a\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,a\in B\left(x,\epsilon\right)\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,A\cap B\left(x,\epsilon\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow x\in A^{a} \end{align*}

(3)

\begin{align*} x\in A^{i} & \Leftrightarrow\lnot\left(x\notin A^{i}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A^{ic}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A^{ca}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(d\left(x,A^{c}\right)=0\right)\\ & \Leftrightarrow0<d\left(x,A^{c}\right) \end{align*}

途中で(2)を使った。

(4)

3角不等式より、

\[ d\left(x,a\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,a\right) \]

となり、これより、

\[ d\left(x,A\right)=\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \leq d\left(x,a\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,a\right) \]

となる。
この式は任意の\(a\in A\)で成り立つので、

\[ d\left(x,A\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,A\right) \]

が成り立つ。
移項すると、

\[ d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\leq d\left(x,y\right) \]

この式の\(x,y\)を入れ替えると、

\[ -\left(d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right)\leq d\left(x,y\right) \]

従ってこの2つの式より、

\[ -d\left(x,y\right)\leq d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\leq d\left(x,y\right) \]

となるので、

\[ \left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|\leq d\left(x,y\right) \]

が成り立つ。

(5)

(4)より、\(\left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|\leq d\left(x,y\right)\)なので、

\[ \forall\epsilon>0,d\left(x,y\right)<\epsilon\rightarrow\left|d\left(x,A\right)-d\left(y,A\right)\right|<\epsilon \]

となり、\(d\left(x,A\right)\)は\(x\)に関して連続となる。