開球同士が交わるときの包含関係
開球同士が交わるときの包含関係
距離空間\(\left(X,d\right)\)上に2つの開球\(B\left(x_{1},r_{1}\right),B\left(x_{2},r_{2}\right)\)があるとき、
\[ B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right) \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)上に2つの開球\(B\left(x_{1},r_{1}\right),B\left(x_{2},r_{2}\right)\)があるとき、
\[ B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right) \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(a\in B\left(x_{2},r_{2}\right)\)に対し、\(d\left(x_{1},a\right)\leq d\left(x_{1},x_{2}\right)+d\left(x_{2},a\right)<r_{1}+r_{2}+r_{2}=r_{1}+2r_{2}\leq r_{1}+2r_{1}=3r_{1}\)となるので\(a\in B\left(x_{1},3r_{1}\right)\)となる。従って\(B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)\)となる。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。距離空間は通常距離\(d\)をとり\(\left(\mathbb{R},d\right)\)とする。
\(B\left(0,1\right)\subseteq B\left(2,3\right)\)であっても\(B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\land1\leq1\Leftrightarrow B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\Leftrightarrow\bot\)と偽になるので\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 開球同士が交わるときの包含関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fesmlhon/ |
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点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。