開球同士が交わるときの包含関係
開球同士が交わるときの包含関係
距離空間\(\left(X,d\right)\)上に2つの開球\(B\left(x_{1},r_{1}\right),B\left(x_{2},r_{2}\right)\)があるとき、
\[ B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right) \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)上に2つの開球\(B\left(x_{1},r_{1}\right),B\left(x_{2},r_{2}\right)\)があるとき、
\[ B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right) \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(a\in B\left(x_{2},r_{2}\right)\)に対し、\(d\left(x_{1},a\right)\leq d\left(x_{1},x_{2}\right)+d\left(x_{2},a\right)<r_{1}+r_{2}+r_{2}=r_{1}+2r_{2}\leq r_{1}+2r_{1}=3r_{1}\)となるので\(a\in B\left(x_{1},3r_{1}\right)\)となる。従って\(B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)\)となる。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。距離空間は通常距離\(d\)をとり\(\left(\mathbb{R},d\right)\)とする。
\(B\left(0,1\right)\subseteq B\left(2,3\right)\)であっても\(B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\land1\leq1\Leftrightarrow B\left(2,1\right)\cap B\left(0,1\right)\ne\emptyset\Leftrightarrow\bot\)と偽になるので\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
タイトル | 開球同士が交わるときの包含関係 |
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単射により誘導された距離空間
\[
d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)
\]
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
ルベーグの被覆補題
\[
\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U
\]