完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない

反例で示す。

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完備距離空間と距離空間を\(\mathbb{R}\)とすると、\(\mathbb{R}\)は完備であるが連続写像\(f\left(x\right)=\tan^{\bullet}x\)の像は\(f\left(X\right)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)は完備ではない。
何故なら\(x_{n}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)であるが、その収束先の\(\frac{\pi}{2}\)は\(\frac{\pi}{2}\notin\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)だからである。

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完備距離空間と距離空間を\(\mathbb{R}\)とすると、\(\mathbb{R}\)は完備であるが連続写像\(f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}\)の像は\(f\left(X\right)=\left(-1,1\right)\)は完備ではない。
何故なら\(x_{n}=1-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-1,1\right)\)であるが、その収束先の1は\(1\notin\left(-1,1\right)\)だからである。