完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)から距離空間\(\left(Y,d_{Y}\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\left(X\right)\)は完備部分集合とは限らない。
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)から距離空間\(\left(Y,d_{Y}\right)\)への連続写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\left(X\right)\)は完備部分集合とは限らない。
反例で示す。
何故なら\(x_{n}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)であるが、その収束先の\(\frac{\pi}{2}\)は\(\frac{\pi}{2}\notin\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)だからである。
何故なら\(x_{n}=1-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-1,1\right)\)であるが、その収束先の1は\(1\notin\left(-1,1\right)\)だからである。
-
完備距離空間と距離空間を\(\mathbb{R}\)とすると、\(\mathbb{R}\)は完備であるが連続写像\(f\left(x\right)=\tan^{\bullet}x\)の像は\(f\left(X\right)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)は完備ではない。何故なら\(x_{n}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)であるが、その収束先の\(\frac{\pi}{2}\)は\(\frac{\pi}{2}\notin\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)だからである。
-
完備距離空間と距離空間を\(\mathbb{R}\)とすると、\(\mathbb{R}\)は完備であるが連続写像\(f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}\)の像は\(f\left(X\right)=\left(-1,1\right)\)は完備ではない。何故なら\(x_{n}=1-\frac{1}{n}\)とすると\(x_{n}\in\left(-1,1\right)\)であるが、その収束先の1は\(1\notin\left(-1,1\right)\)だからである。
ページ情報
| タイトル | 完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない |
| URL | https://www.nomuramath.com/xlzs3f6t/ |
| SNSボタン |
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。
点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]