位相空間での位相と開集合閉集合の定義
または開集合の補集合は閉集合である。
(1)位相
集合\(X\)の部分集合族\(\mathcal{O}\)が次の(a)(b)(c)の3条件を満たすとき\(\mathcal{O}\)を\(X\)上での位相といい、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を位相空間という。(a)空集合、全体集合
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \](b)開集合の有限積集合
\[ \exists n\in\mathbb{N}_{0},\forall m\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,O_{m}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} }O_{k}\in\mathcal{O} \](b-2)
\[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \](b-3)
\[ \forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\left|\mathcal{A}\right|<\infty\rightarrow\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \](b-4)
\[ O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\rightarrow O_{1}\cap O_{2}\in\mathcal{O} \](c)開集合の和集合
\[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \](c-2)
\[ \forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \](2)開集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)において\(\mathcal{O}\)の要素となる集合を\(X\)の開集合という。(3)閉集合
補集合が開集合のとき閉集合という。または開集合の補集合は閉集合である。
(1)
開集合は英語でopen set、ドイツ語でgebieteというので開集合は\(O\)や\(G\)を使うことが多く、開集合全体の集合は\(\mathcal{O}\)がよく使われます。また、閉集合はフランス語でensemble ferméというので閉集合は\(F\)を使うことが多く、閉集合全体の集合は\(\mathcal{F}\)がよく使われます。
ページ情報
| タイトル | 位相空間での位相と開集合閉集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jfenhmdq/ |
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\]
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\[
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f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\
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\end{cases}
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\]