距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間でコーシー列ならば有界列である。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間でコーシー列ならば有界列である。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)をコーシー列とする。このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq m,n\rightarrow d\left(x_{m},x_{n}\right)<\epsilon\)を満たす。
ここで\(m=N\)とすると、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{N},x_{n}\right)<\epsilon\)となる。
これより、\(M=\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} \)とおくと、任意の自然数\(k\)に対し
\begin{align*} d\left(x_{k},x_{N}\right) & \leq\max_{k\in\mathbb{N}}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \\ & =\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\max_{k\in\left(N,N+1,\cdots\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \right\} \\ & \leq\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\epsilon\right\} \\ & =\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} \\ & =M \end{align*} となる。
故に距離空間でコーシー列は有界列となる。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。数列\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(d\left(x_{n},0\right)=1\leq1\)となるので有界列である。
しかし、任意の\(N\in\mathbb{N}\)に対し、\(n=N,m=N+1\)ととれば、\(d\left(x_{m},x_{n}\right)=d\left(x_{n+1},x_{n}\right)=2\geq1\)となるのでコーシー列ではない。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
タイトル | 距離空間でコーシー列ならば有界列 |
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全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
閉集合と収束列との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]