距離空間でコーシー列ならば有界列

\(\Rightarrow\)

距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)をコーシー列とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq m,n\rightarrow d\left(x_{m},x_{n}\right)<\epsilon\)を満たす。
ここで\(m=N\)とすると、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{N},x_{n}\right)<\epsilon\)となる。
これより、\(M=\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} \)とおくと、任意の自然数\(k\)に対し
\begin{align*} d\left(x_{k},x_{N}\right) & \leq\max_{k\in\mathbb{N}}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \\ & =\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\max_{k\in\left(N,N+1,\cdots\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} \right\} \\ & \leq\max\left\{ \max_{k\in\left(1,2,\cdots,N-1\right)}\left\{ d\left(x_{k},x_{N}\right)\right\} ,\epsilon\right\} \\ & =\max\left\{ \epsilon,d\left(x_{1},x_{N}\right),d\left(x_{2},x_{N}\right),\cdots,d\left(x_{N-1},x_{N}\right)\right\} \\ & =M \end{align*} となる。
故に距離空間でコーシー列は有界列となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
数列\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(d\left(x_{n},0\right)=1\leq1\)となるので有界列である。
しかし、任意の\(N\in\mathbb{N}\)に対し、\(n=N,m=N+1\)ととれば、\(d\left(x_{m},x_{n}\right)=d\left(x_{n+1},x_{n}\right)=2\geq1\)となるのでコーシー列ではない。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。