(1)

\(\subseteq\)

\(A^{i}\cup B^{i}\)は\(A\cup B\)に含まれる開集合で、\(\left(A\cup B\right)^{i}\)は\(A\cup B\)に含まれる最大の開集合なので\(A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)で\(A=\left\{ a\right\} ,B=\left\{ b\right\} \)ととると、左辺は\(A^{i}\cup B^{i}=\left\{ a\right\} ^{i}\cup\left\{ b\right\} ^{i}=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset\)となり、右辺は\(\left(A\cup B\right)^{i}=\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)^{i}=\left(\left\{ a,b\right\} \right)^{i}=\left\{ a,b\right\} \)となるので、\(A^{i}\cup B^{i}=\emptyset\nsupseteq\left\{ a,b\right\} =\left(A\cup B\right)^{i}\)となり、\(\supseteq\)は成り立たない。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

反例2

反例で示す。
\(A=\left[0,1\right],B=\left[1,2\right]\)とすれば\(A^{i}\cup B^{i}=\left(0,1\right)\cup\left(1,2\right)\)であるが、\(\left(A\cup B\right)^{i}=\left[0,2\right]^{i}=\left[0,2\right]\)より、\(A^{i}\cup B^{i}\subsetneq\left(A\cup B\right)^{i}\)となるので\(A^{i}\cup B^{i}\nsupseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)となる。

反例3

反例で示す。
\(A=\mathbb{Q},B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)とすると\((A\cup B)^{i}=\mathbb{R}^{i}=\mathbb{R}\)、\(A^{i}\cup B^{i}=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset\)となるので成り立たない。

(2)

\(\subseteq\)

\(\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq A^{i},\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq B^{i}\)より、\(\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq A^{i}\cap B^{i}\)となる。

\(\supseteq\)

\(A^{i}\cap B^{i}\)は\(A\cap B\)に含まれる開集合で、\(\left(A\cap B\right)^{i}\)は\(A\cap B\)に含まれる最大の開集合なので\(\left(A\cap B\right)^{i}\supseteq A^{i}\cap B^{i}\)となる。

-

これより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)となる。

(3)

\(\subseteq\)

任意の\(\mu\in\Lambda\)について\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq A_{\mu}^{i}\)なので\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{n}=\left(-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right)\)とすると左辺は\(\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)^{i}=\left[-1,1\right]^{i}=\left(-1,1\right)\)、右辺は\(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}^{i}=\left[-1,1\right]\)となるので成り立たない。

補集合が局所有限のとき\(\supseteq\)が成り立つ。

(6)より、\(\left(B_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\)が局所有限のとき、
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)^{a}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{a} \] が成り立つので両辺の補集合をとると左辺は、
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)^{ac} & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)^{ci}\\ & =\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{c}\right)^{i} \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{a}\right)^{c} & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{ac}\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{ci} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{c}\right)^{i} & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)^{ac}\\ & \supseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{a}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}^{ci} \end{align*} となる。
ここで、\(B_{\lambda}^{c}\rightarrow A_{\lambda}\)と置きなおせば、
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\supseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i} \] となる。
また、\(\left(B_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\)は局所有限なので、補集合\(\left(A_{\lambda}^{c}\right)_{\lambda\in\Lambda}\)が局所有限のとき、この式が成り立つ。

(4)

(1)より\(A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(A^{i}\cup B^{i}\right)^{c}=A^{ic}\cap B^{ic}=A^{ca}\cap B^{ca}\)、右辺は\(\left(A\cup B\right)^{ic}=\left(A\cup B\right)^{ca}=\left(A^{c}\cap B^{c}\right)^{a}\)より、\(A^{ca}\cap B^{ca}\supseteq\left(A^{c}\cap B^{c}\right)^{a}\)となるので\(A^{c}\rightarrow A,B^{c}\rightarrow B\)と置きなおせば\(A^{a}\cap B^{a}\supseteq\left(A\cap B\right)^{a}\)となる。
また(1)と同様に\(A^{i}\cup B^{i}\nsupseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)なので\(A^{a}\cap B^{a}\nsubseteq\left(A\cap B\right)^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(4)-2

\(\subseteq\)

\(\left(A\cap B\right)^{a}\)は\(A\cap B\)を含む最小の閉集合で、\(A^{a}\cap B^{a}\)は\(A\cap B\)を含む閉集合なので\(\left(A\cap B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cap B^{a}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)で\(A=\left\{ a\right\} ,B=\left\{ b\right\} \)ととると、左辺は\(A^{a}\cap B^{a}=\left\{ a\right\} ^{a}\cap\left\{ b\right\} ^{a}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} \)となり、右辺は\(\left(A\cap B\right)^{a}=\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{a}=\emptyset^{a}=\emptyset\)となるので、\(A^{a}\cap B^{a}=\left\{ a,b\right\} \nsupseteq\emptyset=\left(A\cap B\right)^{a}\)となるので、\(\supseteq\)は成り立たない。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

反例2

反例で示す。
\(A=\left(0,1\right),B=\left(1,2\right)\)とすれば\(\left(A\cap B\right)^{a}=\left(\left(0,1\right)\cap\left(1,2\right)\right)^{a}=\emptyset\)であるが\(A^{a}\cap B^{a}=\left[0,1\right]\cap\left[1,2\right]=\left\{ 1\right\} \)より、\((A\cap B)^{a}\subsetneq A^{a}\cap B^{a}\)となるので\((A\cap B)^{a}\nsupseteq A^{a}\cap B^{a}\)となる。

反例3

反例で示す。
\(A=\mathbb{Q},B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)とすると\((A\cap B)^{a}=\emptyset^{a}=\emptyset\)、\(A^{a}\cap B^{a}=\mathbb{R}\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\)となるので成り立たない。

(5)

(2)より、\(\left(A\cap B\right)^{i}=A^{i}\cap B^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(A\cap B\right)^{ic}=\left(A\cap B\right)^{ca}=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{a}\)、右辺は\(\left(A^{i}\cap B^{i}\right)^{c}=A^{ic}\cup B^{ic}=A^{ca}\cup B^{ca}\)より、\(\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{a}=A^{ca}\cup B^{ca}\)となるので\(A^{c}\rightarrow A,B^{c}\rightarrow B\)と置きなおせば\(\left(A\cup B\right)^{a}=A^{a}\cup B^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(5)-2

\(\subseteq\)

\(A^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a},B^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a}\)より、\(A^{a}\cup B^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a}\)となる。

\(\supseteq\)

\(A^{a}\cup B^{a}\)は\(A\cup B\)を含む閉集合で、\(\left(A\cup B\right)^{a}\)は\(A\cup B\)を含む最小の閉集合なので\(\left(A\cup B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cup B^{a}\)となる。

-

これより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)となる。

(6)

(3)より、\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{ic}=\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{ca}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)^{a}\)、右辺は\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\right)^{c}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ic}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ca}\)より、\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)^{a}\supseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ca}\)となるので\(A_{\lambda}^{c}\rightarrow A_{\lambda}\)と置きなおせば\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\supseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\)となる。
また(3)と同様に、\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\nsupseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)なので\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\nsubseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(6)-2

\(\subseteq\)

任意の\(\mu\in\Lambda\)について\(A_{\mu}^{a}\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)なので\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{n}=\left[-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]\)とすると\(\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)^{a}=\)\(\left[-1,1\right]\)、\(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}{}^{a}=\left(-1,1\right)\)となるので成り立たない。

局所有限のとき\(\supseteq\)が成り立つ。

対偶で示す。
すなわち、\(x\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\rightarrow x\notin\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)を示す。
任意の\(x\in X\)に対し、\(x\)のある開近傍\(V_{x}\)が存在し、\(\left(A_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\)が局所有限なので\(\left|\left\{ \lambda\in\Lambda;V_{x}\cap A_{\lambda}\ne\emptyset\right\} \right|<\infty\)となる。
このときの\(\lambda\)を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{N}\)とすると、条件より、\(x\notin A_{\lambda_{k}}^{a}\)なので\(x\notin A_{\lambda_{k}}^{a}\Leftrightarrow x\in A_{\lambda_{k}}^{ac}\)となり、\(x\)は開集合\(\left(A_{\lambda_{k}}^{a}\right)^{c}\)の元となる。
これより、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,N\right\} \)に対し、\(x\in X\)のある開近傍\(V_{x,\lambda_{k}}\)が存在し、\(V_{x,\lambda_{k}}\subseteq\left(A_{\lambda_{k}}^{a}\right)^{c}\)となり、\(V_{x,\lambda_{k}}\subseteq\left(A_{\lambda_{k}}^{a}\right)^{c}\Rightarrow V_{x,\lambda_{k}}\subseteq A_{\lambda_{k}}^{c}\Leftrightarrow V_{x,\lambda_{k}}\cap A_{\lambda_{k}}=\emptyset\)となる。
従って、\(W_{x}=V_{x}\cap\bigcap_{k=1}^{N}A_{\lambda_{k}}\)とおくと、
\begin{align*} \emptyset & =V_{x,\lambda_{k}}\cap A_{\lambda_{k}}\\ & \supseteq\bigcap_{k=1}^{N}V_{x,\lambda_{k}}\cap A_{\lambda_{k}}\\ & \supseteq V_{x}\cap\bigcap_{k=1}^{N}V_{x,\lambda_{k}}\cap A_{\lambda_{k}}\\ & =W_{x}\cap A_{\lambda_{k}} \end{align*} となるので、\(W_{x}\cap A_{\lambda_{k}}=\emptyset\)となり、\(V_{x}\cap A_{\lambda}\ne\emptyset\)となる\(\lambda\)が\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{N}\)なので、任意の\(\lambda'\in\Lambda\setminus\left\{ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{N}\right\} \)に対し、
\begin{align*} \emptyset & =V_{x}\cap A_{\lambda'}\\ & \supseteq V_{x}\cap\bigcap_{k=1}^{N}V_{x,\lambda_{k}}\cap A_{\lambda'}\\ & =W_{x}\cap A_{\lambda'} \end{align*} となるので、\(W_{x}\cap A_{\lambda'}=\emptyset\)となる。
これらより、任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し、\(W_{x}\cap A_{\lambda}=\emptyset\)となるので、
\begin{align*} W_{x}\cap A_{\lambda}=\emptyset & \Rightarrow W_{x}\cap\bigcup_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}=\emptyset\\ & \Rightarrow\left\{ x\right\} \cap\left(\bigcup_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\right)^{a}=\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left\{ x\right\} \subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\right)^{ac}\\ & \Leftrightarrow x\in\left(\bigcup_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\right)^{ac}\\ & \Leftrightarrow x\notin\left(\bigcup_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\right)^{a} \end{align*} となる。
故に\(x\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\rightarrow x\notin\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)となり、対偶は\(x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\leftarrow x\in\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)となるので、\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\supseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)となる。

(7)

\(\subseteq\)

\begin{align*} \left(A\cup B\right)^{f} & =\left(A\cup B\right)^{a}\setminus\left(A\cup B\right)^{i}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\setminus\left(A\cup B\right)^{i}\\ & =\left(A^{a}\setminus\left(A\cup B\right)^{i}\right)\cup\left(B^{a}\setminus\left(A\cup B\right)^{i}\right)\\ & \subseteq\left(A^{a}\setminus A^{i}\right)\cup\left(B^{a}\setminus B^{i}\right)\\ & =A^{f}\cup B^{f} \end{align*}

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(\left\{ \left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right\} ^{f}=\left\{ a,b\right\} ^{f}=\emptyset\subsetneq\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,b\right\} =\left\{ a\right\} ^{f}\cup\left\{ b\right\} ^{f}\)なので、\(\left\{ \left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right\} ^{f}\subsetneq\left\{ a\right\} ^{f}\cup\left\{ b\right\} ^{f}\Rightarrow\left\{ \left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right\} ^{f}\nsupseteq\left\{ a\right\} ^{f}\cup\left\{ b\right\} ^{f}\)となる。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(8)

反例で示す。
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)では\(\left(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} \right)^{f}=\left\{ b\right\} ^{f}=\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} ^{f}\cap\left\{ b,c\right\} ^{f}=\left\{ c\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ c\right\} \)となるので\(\left(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} \right)^{f},\left\{ a,b\right\} ^{f}\cap\left\{ b,c\right\} ^{f}\)の間に包含関係はない。
従って、\(\left(A\cap B\right)^{f},A^{f}\cap B^{f}\)の間に包含関係は一般的に成り立たない。

(9)

\(\subseteq\)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)^{f} & =\left(A\cap B\right)^{a}\cap\left(A\cap B\right)^{ca}\\ & \subseteq\left(A^{a}\cap B^{a}\right)\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{a}\cmt{\because\left(A\cap B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cap B^{a}}\\ & =A^{a}\cap B^{a}\cap\left(A^{ca}\cup B^{ca}\right)\cmt{\because\left(A\cup B\right)^{a}=A^{a}\cup B^{a}}\\ & =\left(A^{a}\cap B^{a}\cap A^{ca}\right)\cup\left(A^{a}\cap B^{a}\cap B^{ca}\right)\\ & =\left(A^{f}\cap B^{a}\right)\cup\left(A^{a}\cap B^{f}\right)\\ & \subseteq A^{f}\cup B^{f} \end{align*}

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{f}=\emptyset^{f}=\emptyset\subsetneq\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,b\right\} =\left\{ a\right\} ^{f}\cap\left\{ b\right\} ^{f}\)となるので、\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{f}\subsetneq\left\{ a\right\} ^{f}\cup\left\{ b\right\} ^{f}\Rightarrow\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{f}\nsupseteq\left\{ a\right\} ^{f}\cup\left\{ b\right\} ^{f}\)となる。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(10)

=

\begin{align*} \left(A\cup B\right)^{d} & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\left(A\cup B\right)\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\cup\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left(U_{x}\cap\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\lor\left(U_{x}\cap\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \cup\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =A^{d}\cup B^{d} \end{align*}

\(\supseteq\)の証明

\begin{align*} \left(A\cup B\right)^{d} & =\left(A\cup B\right)^{a}\setminus\left(A\cup B\right)^{s}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\setminus\left(A\cup B\right)^{s}\\ & \supseteq\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\setminus\left(A^{s}\cup B^{s}\right)\cmt{\because\left(A\cup B\right)^{s}\subseteq A^{s}\cup B^{s}}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\cap\left(A^{sc}\cup B^{sc}\right)\\ & =\left(A^{a}\cap A^{sc}\right)\cup\left(A^{a}\cap B^{sc}\right)\cup\left(B^{a}\cap A^{sc}\right)\cup\left(B^{a}\cap B^{sc}\right)\\ & \supseteq\left(A^{a}\cap A^{sc}\right)\cup\left(B^{a}\cap B^{sc}\right)\\ & =A^{a}\setminus A^{s}\cup B^{a}\setminus B^{s}\\ & =A^{d}\cup B^{d} \end{align*}

(11)

\(\subseteq\)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)^{d} & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\left(A\cap B\right)\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\cap\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cap\left(U_{x}\cap\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & \subseteq\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\land\left(U_{x}\cap\left(B\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \cap\left\{ x;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =A^{d}\cap B^{d} \end{align*}

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)では\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{d}=\emptyset^{d}=\emptyset\subsetneq\left\{ c\right\} =\left\{ b,c\right\} \cap\left\{ c\right\} =\left\{ a\right\} ^{d}\cap\left\{ b\right\} ^{d}\)となるので、\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{d}\subsetneq\left\{ a\right\} ^{d}\cap\left\{ b\right\} ^{d}\Rightarrow\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} \right)^{d}\nsupseteq\left\{ a\right\} ^{d}\cap\left\{ b\right\} ^{d}\)となる。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(12)

\(\subseteq\)

\begin{align*} \left(A\cup B\right)^{s} & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\cup B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)\cup\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & \subseteq\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)=\left\{ x\right\} \lor\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)=\left\{ x\right\} \right\} \cup\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =A^{s}\cup B^{s} \end{align*}

\(\subseteq\)別証明

\begin{align*} \left(A\cup B\right)^{s} & =\left(A\cup B\right)^{a}\setminus\left(A\cup B\right)^{d}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\setminus\left(A\cup B\right)^{d}\cmt{\because A^{a}\cup B^{a}=\left(A\cup B\right)^{a}}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\setminus\left(A^{d}\cup B^{d}\right)\cmt{\because\left(A\cup B\right)^{d}=A^{d}\cup B^{d}}\\ & =\left(A^{a}\cup B^{a}\right)\cap\left(A^{dc}\cap B^{dc}\right)\\ & =\left(A^{a}\cap A^{dc}\cap B^{dc}\right)\cup\left(B^{a}\cap A^{dc}\cap B^{dc}\right)\\ & \subseteq\left(A^{a}\cap A^{dc}\right)\cup\left(B^{a}\cap B^{dc}\right)\\ & =\left(A^{a}\setminus A^{d}\right)\cup\left(B^{a}\setminus B^{d}\right)\\ & =A^{s}\cup B^{s} \end{align*}

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
密着位相\(\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right\} \)では\(\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)^{s}=\left\{ a,b\right\} ^{s}=\emptyset\subsetneq\left\{ a,b\right\} =\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} =\left\{ a\right\} ^{s}\cup\left\{ b\right\} ^{s}\)となるので\(\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)^{s}\subsetneq\left\{ a\right\} ^{s}\cup\left\{ b\right\} ^{s}\Rightarrow\left(\left\{ a\right\} \cup\left\{ b\right\} \right)^{s}\nsupseteq\left\{ a\right\} ^{s}\cup\left\{ b\right\} ^{s}\)である。
従って、\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(13)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)^{s} & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)\cap\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & \supseteq\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)=\left\{ x\right\} \land\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap A\right)=\left\{ x\right\} \right\} \cap\left\{ x;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\left(U_{x}\cap B\right)=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =A^{s}\cap B^{s} \end{align*} \(\subseteq\)は一般的に成り立たない
反例で示す。
密着位相\(\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right\} \)では\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ a,b\right\} \right)^{s}=\left\{ a\right\} ^{s}=\left\{ a\right\} \supsetneq\emptyset=\left\{ a\right\} \cap\emptyset=\left\{ a\right\} ^{s}\cap\left\{ a,b\right\} ^{s}\)となるので\(\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ a,b\right\} \right)^{s}\supsetneq\left\{ a\right\} ^{s}\cap\left\{ a,b\right\} ^{s}\Rightarrow\left(\left\{ a\right\} \cap\left\{ a,b\right\} \right)^{s}\nsubseteq\left\{ a\right\} ^{s}\cap\left\{ a,b\right\} ^{s}\)
である。
従って、\(\subseteq\)は一般的に成り立たない。