位相空間での和集合・積集合の内部・閉包

位相空間での和集合・積集合の内部・閉包
位相空間\((X,\mathcal{O})\)と部分集合\(A,B\subseteq X\)があるとする。

(1)

\[ A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i} \]
\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(2)

\[ \left(A\cap B\right)^{i}=A^{i}\cap B^{i} \]

(3)

\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i} \]
\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(4)

\[ \left(A\cap B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cap B^{a} \]
\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(5)

\[ A^{a}\cup B^{a}=\left(A\cup B\right)^{a} \]

(6)

\[ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a} \]
\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

-

\(A^{i}\)は内部
\(A^{a}\)は閉包

(1)

\(\subseteq\)

\(A^{i}\cup B^{i}\)は\(A\cup B\)に含まれる開集合で、\(\left(A\cup B\right)^{i}\)は\(A\cup B\)に含まれる最大の開集合なので\(A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\left[0,1\right],B=\left[1,2\right]\)とすれば\(A^{i}\cup B^{i}=\left(0,1\right)\cup\left(1,2\right)\)であるが、\(\left(A\cup B\right)^{i}=\left[0,2\right]^{i}=\left[0,2\right]\)より、\(A^{i}\cup B^{i}\subsetneq\left(A\cup B\right)^{i}\)となるので\(A^{i}\cup B^{i}\nsupseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)となる。

反例2

反例で示す。
\(A=\mathbb{Q},B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)とすると\((A\cup B)^{i}=\mathbb{R}^{i}=\mathbb{R}\)、\(A^{i}\cup B^{i}=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset\)となるので成り立たない。

(2)

\(\subseteq\)

\(\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq A^{i},\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq B^{i}\)より、\(\left(A\cap B\right)^{i}\subseteq A^{i}\cap B^{i}\)となる。

\(\supseteq\)

\(A^{i}\cap B^{i}\)は\(A\cap B\)に含まれる開集合で、\(\left(A\cap B\right)^{i}\)は\(A\cap B\)に含まれる最大の開集合なので\(\left(A\cap B\right)^{i}\supseteq A^{i}\cap B^{i}\)となる。

-

これより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)となる。

(3)

\(\subseteq\)

任意の\(\mu\in\Lambda\)について\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq A_{\mu}^{i}\)なので\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{n}=\left(-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right)\)とすると左辺は\(\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)^{i}=\left[-1,1\right]^{i}=\left(-1,1\right)\)、右辺は\(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}^{i}=\left[-1,1\right]\)となるので成り立たない。

(4)

(1)より\(A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(A^{i}\cup B^{i}\right)^{c}=A^{ic}\cap B^{ic}=A^{ca}\cap B^{ca}\)、右辺は\(\left(A\cup B\right)^{ic}=\left(A\cup B\right)^{ca}=\left(A^{c}\cap B^{c}\right)^{a}\)より、\(A^{ca}\cap B^{ca}\supseteq\left(A^{c}\cap B^{c}\right)^{a}\)となるので\(A^{c}\rightarrow A,B^{c}\rightarrow B\)と置きなおせば\(A^{a}\cap B^{a}\supseteq\left(A\cap B\right)^{a}\)となる。
また(1)と同様に\(A^{i}\cup B^{i}\nsupseteq\left(A\cup B\right)^{i}\)なので\(A^{a}\cap B^{a}\nsubseteq\left(A\cap B\right)^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(4)-2

\(\subseteq\)

\(\left(A\cap B\right)^{a}\)は\(A\cap B\)を含む最小の閉集合で、\(A^{a}\cap B^{a}\)は\(A\cap B\)を含む閉集合なので\(\left(A\cap B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cap B^{a}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\left(0,1\right),B=\left(1,2\right)\)とすれば\(\left(A\cap B\right)^{a}=\left(\left(0,1\right)\cap\left(1,2\right)\right)^{a}=\emptyset\)であるが\(A^{a}\cap B^{a}=\left[0,1\right]\cap\left[1,2\right]=\left\{ 1\right\} \)より、\((A\cap B)^{a}\subsetneq A^{a}\cap B^{a}\)となるので\((A\cap B)^{a}\nsupseteq A^{a}\cap B^{a}\)となる。

反例2

反例で示す。
\(A=\mathbb{Q},B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)とすると\((A\cap B)^{a}=\emptyset^{a}=\emptyset\)、\(A^{a}\cap B^{a}=\mathbb{R}\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\)となるので成り立たない。

(5)

(2)より、\(\left(A\cap B\right)^{i}=A^{i}\cap B^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(A\cap B\right)^{ic}=\left(A\cap B\right)^{ca}=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{a}\)、右辺は\(\left(A^{i}\cap B^{i}\right)^{c}=A^{ic}\cup B^{ic}=A^{ca}\cup B^{ca}\)より、\(\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{a}=A^{ca}\cup B^{ca}\)となるので\(A^{c}\rightarrow A,B^{c}\rightarrow B\)と置きなおせば\(\left(A\cup B\right)^{a}=A^{a}\cup B^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(5)-2

\(\subseteq\)

\(A^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a},B^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a}\)より、\(A^{a}\cup B^{a}\subseteq\left(A\cup B\right)^{a}\)となる。

\(\supseteq\)

\(A^{a}\cup B^{a}\)は\(A\cup B\)を含む閉集合で、\(\left(A\cup B\right)^{a}\)は\(A\cup B\)を含む最小の閉集合なので\(\left(A\cup B\right)^{a}\subseteq A^{a}\cup B^{a}\)となる。

-

これより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)となる。

(6)

(3)より、\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)なので両辺の補集合をとると、左辺は\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{ic}=\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{ca}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)^{a}\)、右辺は\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\right)^{c}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ic}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ca}\)より、\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)^{a}\supseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{ca}\)となるので\(A_{\lambda}^{c}\rightarrow A_{\lambda}\)と置きなおせば\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\supseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\)となる。
また(3)と同様に、\(\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{i}\nsupseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{i}\)なので\(\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\nsubseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(6)-2

\(\subseteq\)

任意の\(\mu\in\Lambda\)について\(A_{\mu}^{a}\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)なので\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{a}\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{a}\)となる。

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{n}=\left[-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]\)とすると\(\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)^{a}=\)\(\left[-1,1\right]\)、\(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}{}^{a}=\left(-1,1\right)\)となるので成り立たない。


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位相空間での和集合・積集合の内部・閉包

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