完備距離空間の部分集合は完備とは限らない

反例で示す。

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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\left(0,1\right)\)は完備ではない。
何故なら実数列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(\left(0,1\right)\)に含まれるが、その収束先の0は\(\left(0,1\right)\)に含まれないからである。

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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\mathbb{Q}\)は完備ではない。
何故なら\(x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41\)と\(x_{n}\)を\(\sqrt{2}\)の小数第\(n\)位までの実数とすると、\(x_{n}\in\mathbb{Q}\)であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)である。