完備距離空間の部分集合は完備とは限らない

by nomura · 2023年6月14日

完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。

反例で示す。

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$\mathbb{R}$は完備であるがその部分集合$\left(0,1\right)$は完備ではない。
何故なら実数列$\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$\left(0,1\right)$に含まれるが、その収束先の0は$\left(0,1\right)$に含まれないからである。

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$\mathbb{R}$は完備であるがその部分集合$\mathbb{Q}$は完備ではない。
何故なら$x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41$と$x_{n}$を$\sqrt{2}$の小数第$n$位までの実数とすると、$x_{n}\in\mathbb{Q}$であるが$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$である。

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タイトル	完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
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pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

\[ d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \]

距離空間ならば第1可算公理を満たす

離散位相は距離化可能

離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。

距離関数は連続関数

距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。