完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)は完備とは限らない。
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)は完備とは限らない。
反例で示す。
何故なら実数列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(\left(0,1\right)\)に含まれるが、その収束先の0は\(\left(0,1\right)\)に含まれないからである。
何故なら\(x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41\)と\(x_{n}\)を\(\sqrt{2}\)の小数第\(n\)位までの実数とすると、\(x_{n}\in\mathbb{Q}\)であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)である。
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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\left(0,1\right)\)は完備ではない。何故なら実数列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(\left(0,1\right)\)に含まれるが、その収束先の0は\(\left(0,1\right)\)に含まれないからである。
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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\mathbb{Q}\)は完備ではない。何故なら\(x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41\)と\(x_{n}\)を\(\sqrt{2}\)の小数第\(n\)位までの実数とすると、\(x_{n}\in\mathbb{Q}\)であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)である。
ページ情報
| タイトル | 完備距離空間の部分集合は完備とは限らない |
| URL | https://www.nomuramath.com/xutqma6u/ |
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連続と開集合の逆像が開集合は同値
連続と開集合の逆像が開集合は同値
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]