距離空間での開集合と点列の収束

by nomura · 2023年7月12日

距離空間での開集合と点列の収束
距離空間$\left(X,d\right)$があるとする。
このとき、$O$が開集合であることと、任意の$a\in O$と$a$に収束する任意の点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$に対し、ある自然数$N\in\mathbb{N}$が存在し$N\leq n\rightarrow a_{n}\in O$であることは同値である。

$\Rightarrow$

位相空間での点列の収束の定義より明らかに成り立つ。

$\Leftarrow$

対偶で示す。
$O$が開集合でないとする。
このとき、ある$a\in O$ が存在し、任意の$\epsilon>0$に対し$B\left(a,\epsilon\right)\nsubseteq O$となる。
これより、任意の$k\in\mathbb{N}$に対し、$a_{k}\in B\left(a,\frac{1}{k}\right)$かつ$a_{k}\notin O$となるように選んで点列$\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$を作る。
すると、任意の$\epsilon'>0$に対し、$N=\left\lceil \frac{1}{\epsilon'}\right\rceil $とおくと、$N\leq n\rightarrow a_{n}\in B\left(a,\frac{1}{n}\right)$となる。
このとき、$\frac{1}{N}=\left\lceil \frac{1}{\epsilon'}\right\rceil ^{-1}<\epsilon'$なので$N\leq n$ならば$a_{n}\in B\left(a,\frac{1}{n}\right)$より、$d\left(a_{n},a\right)<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\epsilon'$となるので、$N\leq n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon'$となる。
これより、点列$\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$は$a$に収束するが任意の$k\in\mathbb{N}$に対し$a_{k}\notin O$となる。
従って、$N\leq k\land a_{n}\notin O$が成り立つ。
故に対偶が示されたので$\Leftarrow$が成り立つ。