位相空間での閉集合系による位相
位相空間での閉集合系による位相
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、閉集合系を\(\mathcal{F}\)とするとき次の3条件を満たす。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、閉集合系を\(\mathcal{F}\)とするとき次の3条件を満たす。
(a)空集合、全体集合
\[ \emptyset,X\in\mathcal{F} \](b)閉集合の有限和集合
\[ F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \](c)閉集合の積集合
\[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \]位相空間になるためには
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \] \[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \] \[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \] の3つが成り立てばいいので閉集合系\(\mathcal{F}\)でこれを表せばいい。
\(X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{F}\)
故に\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\)\(\emptyset,X\in\mathcal{F}\)となる。
\begin{align*} O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow O_{1}^{c},\cdots,O_{n}^{c}\in\mathcal{F}\rightarrow\left(\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の有限積集合と閉集合の有限和集合は同値となる。
\begin{align*} \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}^{c}\in\mathcal{O}\rightarrow\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}^{c}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の和集合と閉集合の積集合は同値となる。
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \] \[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \] \[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \] の3つが成り立てばいいので閉集合系\(\mathcal{F}\)でこれを表せばいい。
(a)
\(\emptyset\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X\in\mathcal{F}\)\(X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{F}\)
故に\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\)\(\emptyset,X\in\mathcal{F}\)となる。
(b)
開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、\begin{align*} O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow O_{1}^{c},\cdots,O_{n}^{c}\in\mathcal{F}\rightarrow\left(\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の有限積集合と閉集合の有限和集合は同値となる。
(c)
開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、\begin{align*} \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}^{c}\in\mathcal{O}\rightarrow\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}^{c}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の和集合と閉集合の積集合は同値となる。
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これらより、(a),(b),(c)の3条件を満たせばいい。
ページ情報
| タイトル | 位相空間での閉集合系による位相 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ntbqqdqm/ |
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0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]