位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義

by nomura · 2023年7月18日

位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
位相空間\((X,\mathcal{O})\)として部分集合\(A\subseteq X\)とする。
\(x\in X\)を含む開集合を\(U_{x}\)で表す。

(1)内部

\[ \exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の内点であるという。
\(A\)の内点全体の集合を\(A\)の内部といい、interiorのiをとり\(A^{i}\)で表す。

(2)外部

\[ \exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A^{c} \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の外点であるという。
\(A\)の外点全体の集合を\(A\)の外部といい、exteriorのeをとり\(A^{e}\)で表す。

(3)境界

\[ \forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\emptyset\;\land\;U_{x}\cap A^{c}\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の境界点であるという。
\(A\)の境界点全体の集合を\(A\)の境界といい、frontierのfをとり\(A^{f}\)で表す。

(4)閉包

\[ \forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の触点であるという。
\(A\)の触点全体の集合を\(A\)の閉包といい、\(A^{a}\)で表す。

(5)導集合

\[ \forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の集積点であるという。
\(A\)の集積点全体の集合を\(A\)の導集合といい、\(A^{d}\)で表す。

(6)孤立点全体の集合

\[ \exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A=\left\{ x\right\} \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の孤立点であるという。
\(A\)の孤立点全体の集合を\(A^{s}\)で表す。

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集積点・孤立点はともに内点にも境界点にもなる。

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集積点は
\[ \forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\nsubseteq\left\{ x\right\} \] と同じである。
何故なら、
\begin{align*} \forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset & \Leftrightarrow\forall U_{x}\in\mathcal{O},\lnot\left(U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} ^{c}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\forall U_{x}\in\mathcal{O},\lnot\left(U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\nsubseteq\left\{ x\right\} \end{align*} となるからである。

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孤立点は
\[ \exists U_{x}\in\mathcal{O},x\in A\land U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset \] と同じである。
何故なら、孤立点の定義より、
\begin{align*} \left\{ x\right\} & =U_{x}\cap A\\ & =U_{x}\cap\left(A\cap\left(\left\{ x\right\} ^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & =U_{x}\cap\left(\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & =\left(U_{x}\cap\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\right)\cup\left(U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} \right)\\ & =\left(U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right) \end{align*} となるが、これが成り立つためには、\(x\notin A\)とすると満たさないので、
\[ x\in A\land U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset \] となるからである。

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\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとり、\(A=\left[0,1\right)\)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=\left(0,1\right)\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,\infty\right)\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=\left\{ 0\right\} \cup\left\{ 1\right\} \)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=\left[0,1\right]\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=\left[0,1\right]\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=\emptyset\)

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\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとり、\(A=\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=\emptyset\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=A^{c}\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=A\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=A\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=\emptyset\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=A\)

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\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとり、\(A=\left\{ 0\right\} \cup\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=\emptyset\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=A^{c}\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=A\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=A\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=\left\{ 0\right\} \)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)

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密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)で\(A\subsetneq X\)で\(2\leq\left|A\right|\)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=\emptyset\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=\emptyset\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=X\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=X\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=X\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=\emptyset\)

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密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)で\(A\subsetneq X\)で\(\left|A\right|=1\)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=\emptyset\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=\emptyset\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=X\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=X\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=X\setminus A\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=A\)

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密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)で\(A=X\)で\(2\leq\left|A\right|\)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=X\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=\emptyset\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=\emptyset\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=X\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=X\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=\emptyset\)

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離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)で\(A\subseteq X\)とすると、
内部\(A^{i}\)は\(A^{i}=A\)
外部\(A^{e}\)は\(A^{e}=A^{c}\)
境界\(A^{f}\)は\(A^{f}=\emptyset\)
閉包\(A^{a}\)は\(A^{a}=A\)
導集合\(A^{d}\)は\(A^{d}=\emptyset\)
孤立点全体の集合\(A^{s}\)は\(A^{s}=A\)

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シェルピンスキー位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)とすると、
内部\(\left\{ a\right\} ^{i}\)は\(\left\{ a\right\} ^{i}=\left\{ a\right\} \)
外部\(\left\{ a\right\} ^{e}\)は\(\left\{ a\right\} ^{e}=\emptyset\)
境界\(\left\{ a\right\} ^{f}\)は\(\left\{ a\right\} ^{f}=\left\{ b\right\} \)
閉包\(\left\{ a\right\} ^{a}\)は\(\left\{ a\right\} ^{a}=\left\{ a,b\right\} \)
導集合\(\left\{ a\right\} ^{d}\)は\(\left\{ a\right\} ^{d}=\left\{ b\right\} \)
孤立点全体の集合\(\left\{ a\right\} ^{s}\)は\(\left\{ a\right\} ^{s}=\left\{ a\right\} \)
内部\(\left\{ b\right\} ^{i}\)は\(\left\{ b\right\} ^{i}=\emptyset\)
外部\(\left\{ b\right\} ^{e}\)は\(\left\{ b\right\} ^{e}=\)\(\left\{ a\right\} \)
境界\(\left\{ b\right\} ^{f}\)は\(\left\{ b\right\} ^{f}=\)\(\left\{ b\right\} \)
閉包\(\left\{ b\right\} ^{a}\)は\(\left\{ b\right\} ^{a}=\)\(\left\{ b\right\} \)
導集合\(\left\{ b\right\} ^{d}\)は\(\left\{ b\right\} ^{d}=\)\(\emptyset\)
孤立点全体の集合\(\left\{ b\right\} ^{s}\)は\(\left\{ b\right\} ^{s}=\)\(\left\{ b\right\} \)

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位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、
内部\(\left\{ a\right\} ^{i}\)は\(\left\{ a\right\} ^{i}=\emptyset\)
外部\(\left\{ a\right\} ^{e}\)は\(\left\{ a\right\} ^{e}=\)\(\emptyset\)
境界\(\left\{ a\right\} ^{f}\)は\(\left\{ a\right\} ^{f}=\)\(\left\{ a,b,c\right\} \)
閉包\(\left\{ a\right\} ^{a}\)は\(\left\{ a\right\} ^{a}=\)\(\left\{ a,b,c\right\} \)
導集合\(\left\{ a\right\} ^{d}\)は\(\left\{ a\right\} ^{d}=\left\{ b,c\right\} \)
孤立点全体の集合\(\left\{ a\right\} ^{s}\)は\(\left\{ a\right\} ^{s}=\left\{ a\right\} \)
内部\(\left\{ a,b\right\} ^{i}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \)
外部\(\left\{ a,b\right\} ^{e}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{e}=\emptyset\)
境界\(\left\{ a,b\right\} ^{f}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{f}=\left\{ c\right\} \)
閉包\(\left\{ a,b\right\} ^{a}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{a}=\left\{ a,b,c\right\} \)
導集合\(\left\{ a,b\right\} ^{d}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b,c\right\} \)
孤立点全体の集合\(\left\{ a,b\right\} ^{s}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{s}=\emptyset\)

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位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、
内部\(\left\{ a\right\} ^{i}\)は\(\left\{ a\right\} ^{i}=\emptyset\)
外部\(\left\{ a\right\} ^{e}\)は\(\left\{ a\right\} ^{e}=\left\{ c\right\} \)
境界\(\left\{ a\right\} ^{f}\)は\(\left\{ a\right\} ^{f}=\left\{ a,b\right\} \)
閉包\(\left\{ a\right\} ^{a}\)は\(\left\{ a\right\} ^{a}=\left\{ a,b\right\} \)
導集合\(\left\{ a\right\} ^{d}\)は\(\left\{ a\right\} ^{d}=\left\{ b\right\} \)
孤立点全体の集合\(\left\{ a\right\} ^{s}\)は\(\left\{ a\right\} ^{s}=\left\{ a\right\} \)
内部\(\left\{ a,b\right\} ^{i}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \)
外部\(\left\{ a,b\right\} ^{e}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{e}=\left\{ c\right\} \)
境界\(\left\{ a,b\right\} ^{f}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{f}=\emptyset\)
閉包\(\left\{ a,b\right\} ^{a}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{a}=\left\{ a,b\right\} \)
導集合\(\left\{ a,b\right\} ^{d}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} \)
孤立点全体の集合\(\left\{ a,b\right\} ^{s}\)は\(\left\{ a,b\right\} ^{s}=\emptyset\)

ページ情報

タイトル	位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
URL	https://www.nomuramath.com/sy08twp7/
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位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合

\[ A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i} \]

位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本

\[ A^{i}\subseteq A \]

導集合・孤立点全体の集合の別表現

\[ A^{d}\Leftrightarrow\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right) \]

位相空間で集積点・孤立点を持たないとき

\[ A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \]