一様連続であれば各点連続

一様連続の定義は、

\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \]

であり、各点連続の定義は、

\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \]

である。
全称記号と存在記号は順番により、

\[ \exists a,\forall b,P\left(a,b\right)\Rightarrow\forall b,\exists a,P\left(a,b\right) \]

となるが、逆は一般的に成り立たない。
これより、一様連続であれば各点連続であるが、逆は一般的に成り立たない。