ルベーグの被覆補題

コンパクトの場合

\(X\)はコンパクトなので\(\mathcal{U}\)から有限個\(\left\{ U_{k};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \subseteq\mathcal{U}\)を選び\(X\subseteq\bigcup_{k=1}^{n}U_{k}\)とできる。
ここで\(f\left(x\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}d\left(x,X\setminus U_{k}\right)\)とおくと、\(f\)はコンパクト集合上で連続なので最小値\(\delta\)が存在し、\(\delta>0\)となる。
このとき、\(\diam\left(A\right)<\delta\)とすると、任意の\(x_{0}\in A\)に対し、\(A\subseteq B_{\delta}\left(x_{0}\right)\)となる。
また、\(\delta\leq f\left(x_{0}\right)\)であるので、ある\(m\in\left\{ 1,2,\cdots n\right\} \)が存在し、\(\delta\leq d\left(x_{0},X\setminus U_{m}\right)\)を満たす。
従って、\(\delta\leq d\left(x_{0},X\setminus U_{m}\right)\Leftrightarrow B_{\delta}\left(x_{0}\right)\cap X\setminus U_{m}=\emptyset\Leftrightarrow B_{\delta}\left(x_{0}\right)\subseteq U_{m}\)となるので、\(A\subseteq B_{\delta}\left(x_{0}\right)\subseteq U_{m}\)となる。
故に\(\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U_{m}\)となり題意は成り立つ。

点列コンパクトの場合

背理法で示す。
ある開被覆\(\mathcal{U}\)が存在し、任意の\(\delta>0\)に対し、ある部分集合\(A\subseteq X\)が存在し、開被覆\(\mathcal{U}\)の任意の元\(U\in\mathcal{U}\)に対し、\(\diam\left(A\right)<\delta\land A\nsubseteq U\)が成り立つと仮定する。
このとき、任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)に対し、ある部分集合\(A_{n}\subseteq X\)が存在し、開被覆\(\mathcal{U}\)の任意の元\(U\in\mathcal{U}\)に対し、\(\diam\left(A_{n}\right)<\frac{1}{n}\land A_{n}\nsubseteq U\)が成り立つ。
ここで各\(A_{n}\)から1点\(a_{n}\)を選ぶと、その点列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は点列コンパクト空間なのである部分列\(\left(a_{n\left(k\right)}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が存在しある点\(a\)に収束する。
従って、開被覆\(\mathcal{U}\)のある元\(U'\in\mathcal{U}\)が存在し\(a\in U'\)を満たす。
これより、\(U'\)は\(a\)を含む開集合なので、\(\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow A_{n}\subseteq U'\)となるが仮定に矛盾。
故に背理法より題意は成り立つ。