コーシー列と部分列の収束

by nomura · 2023年6月18日

コーシー列と部分列の収束
距離空間$\left(X,d\right)$が与えられているとき、コーシー列$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$の部分列$\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$がある点$a\in X$に収束することと、コーシー列$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$が$a$に収束することは同値である。

$\Rightarrow$

$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$はコーシー列なので任意の$\epsilon>0$に対し、ある自然数$N_{1}\in\mathbb{N}$が存在し、$N_{1}\leq m_{1},n_{1}\rightarrow d\left(x_{m_{1}},x_{n_{2}}\right)<\epsilon$となる。
また部分列$\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$a$に収束するので任意の$\epsilon>0$に対し、ある自然数$N_{2}\in\mathbb{N}$が存在し、$N_{2}\leq n_{2}\rightarrow d\left(x_{\sigma\left(n_{2}\right)},a\right)<\epsilon$となる。
ここである$m_{2}\geq N_{2}$が存在して、$N_{1}\leq\sigma\left(m_{2}\right)$を満たし、$d\left(x_{\sigma\left(m_{2}\right)},a\right)<\epsilon$となる。
このとき、任意の自然数$m\geq N_{1}$に対し、$d\left(x_{m},x_{\sigma\left(m_{2}\right)}\right)<\epsilon$となる。
従って、$d\left(x_{m},a\right)\leq d\left(x_{m},x_{\sigma\left(m_{2}\right)}\right)+d\left(x_{\sigma\left(m_{2}\right)},a\right)<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$となる。
故に$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$も$a$に収束する。