近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質
密着位相・離散位相・シェルピンスキー空間・補有限位相・補可算位相の定義
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A\]
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\]
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係
実数全体の集合は完備距離空間
距離空間では点列の収束先は一意的
内部の最大性と閉包の最小性
\[O\subseteq A\Leftrightarrow O\subseteq A^{i}\]
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
\[X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \]
稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
\[A^{a}=X\]
導集合・孤立点全体の集合の別表現
\[A^{d}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right)\]
位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合
\[A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A\]
位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[A^{i}\subseteq A\]
位相空間での閉集合系による位相
\[F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F}\]
位相空間での位相と開集合閉集合の定義
\[\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O}\]
距離空間での開集合と点列の収束
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon\]
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば正規空間
点と集合との距離の関係
\[d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}\]