2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係

by nomura · 2024年4月4日

2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係
集合$X$と距離$d,d'$があるとき次の(a),(b),(c)は同値である。

(a)

任意の元$a\in X$と任意の点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$に対し、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$が$d$に関して$a$に収束するならば、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$d'$に関して$a$に収束する

(b)

$d'$に関する閉集合ならば、$d$に関する閉集合となる。

(c)

$d'$に関する開集合ならば、$d$に関する開集合となる。

$X=\emptyset$のとき明らかに成り立つので$X\ne\emptyset$とする。

(a)$\Rightarrow$(b)

$A$を$d'$に関する閉集合とする。
(a)より、$A$から任意の点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A$をとると、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$が$d$に関して$a$に収束するならば、$d'$に関して$a$に収束する。
また条件より、$A$は$d'$に関する閉集合なので任意の点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A$に対し、$d'$での収束先は$a\in A$となる。
従って任意の点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A$に対し、$d$での収束先は$a\in A$となるので、$A$は$d$に関する閉集合となる。
故に(a)$\Rightarrow$(b)は成り立つ。

(b)$\Rightarrow$(c)

$O\subseteq X$を$d'$に関する開集合とすると$O^{c}$は$d'$に関する閉集合となる。
$O^{c}$は$d'$に関する閉集合なので、(b)より、$O^{c}$は$d$に関する閉集合となる。
$O^{c}$は$d$に関する閉集合なので$O$は$d$に関する開集合となる。
従って(b)$\Rightarrow$(c)は成り立つ。

(c)$\Rightarrow$(a)

点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$は$d$に関して$a\in X$に収束するとする。
また$\epsilon>0$として、$d'$での$a$の$\epsilon$近傍を$B'\left(a,\epsilon\right)$とする。
$B'\left(a,\epsilon\right)$は$d'$での開集合なので、(c)より$d$でも開集合となるので、ある$\delta>0$が存在し、$B\left(a,\delta\right)\subseteq B'\left(a,\epsilon\right)$となる。
また、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$d$に関して$a$に収束するので、ある$N\in\mathbb{N}$が存在し、$N\leq n\rightarrow a_{n}\in B\left(a,\delta\right)$となるので、$N\leq n\rightarrow a_{n}\in B\left(a,\delta\right)\subseteq B'\left(a,\epsilon\right)$となる。
従って$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は$d'$に関して$a$に収束する。
故に(c)$\Rightarrow$(a)は成り立つ。