距離空間での連続を開近傍を使って表現
距離空間での連続を開近傍を使って表現
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \] または、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right) \] であることは同値である。
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \] または、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right) \] であることは同値である。
連続であるので
\[ \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon \] となり、
\(\left(d_{X}\left(x,a\right)<\delta\leftrightarrow x\in U_{\delta}\left(a\right)\right)\land\left(d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\leftrightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right)\)なので、
\begin{align*} & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow x\in f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\cmt{*}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \end{align*} となる。
これより、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \] または、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right) \] であることは同値となる。
これらより題意は成り立つ。
\[ \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon \] となり、
\(\left(d_{X}\left(x,a\right)<\delta\leftrightarrow x\in U_{\delta}\left(a\right)\right)\land\left(d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\leftrightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right)\)なので、
\begin{align*} & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow x\in f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\cmt{*}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \end{align*} となる。
これより、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \] または、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right) \] であることは同値となる。
これらより題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での連続を開近傍を使って表現 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x4qosqzk/ |
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離散距離は距離空間
\[
d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]