密着位相・離散位相・シェルピンスキー空間・補有限位相・補可算位相の定義

(1)密着位相

\(X\)を空でない集合とする。このとき\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は位相となり、この位相を密着位相という。

(2)離散位相

\(X\)を空でない集合とする。このとき\(\left(X,2^{X}\right)\)は位相となり、この位相を離散位相という。
離散位相は\(\left(X,\left\{ A;A\subseteq X\right\} \right)\)でも表すことが出来る。
また\(\left(X,\mathcal{P}\left(X\right)\right)\)で表されることもある。

(3)シェルピンスキー空間

密着位相でも離散位相でもない2つの元のみでなる位相空間をシェルピンスキー空間という。
シェルピンスキー空間は\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と位相同型な位相空間で\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)もシェルピンスキー空間である。

(4)補有限位相

\(X\)を集合とする。補集合が有限集合のとき開集合とする位相、すなわち
\[ \mathcal{O}_{c}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|<\infty\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)を補有限位相という。
言い換えると、有限集合と\(X\)自身を閉集合とする位相である。
補有限位相は\(X\)自身が有限集合のときは離散位相となる。

(5)補可算位相

\(X\)を集合とする。補集合が可算集合のとき開集合とする位相、すなわち
\[ \mathcal{O}=\left\{ \emptyset\right\} \cup\left\{ S\subseteq X;\left|X\setminus S\right|\leq\aleph_{0}\right\} \] となる位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を補可算位相という。