近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質
近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質
定義
または、位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含むある開集合\(U_{x}\)が存在し、\(U_{x}\)を\(V_{x}\)が含むとき、すなわち\(x\in U_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。
\(U_{x}\)は開集合ですが、\(V_{x}\)は開集合とは限りません。
開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。
閉近傍は近傍が閉集合となるときと同値である。
近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{V}_{x}\)は一意的に決まります。
基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)は
\[ \mathcal{V}_{x}=\left\{ V_{x}\subseteq X;\exists B_{x}\subseteq\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x}\right\} \] となる。
開近傍系の元は開集合になります。
\(\mathcal{U}_{x}\)は一意的に決まります。
すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x},\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x} \] である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{U}_{x},\forall U_{x}\in\mathcal{U}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq U_{x} \] である。
また、基本近傍系の元は全て開近傍であるものを基本開近傍系という。
基本開近傍系の元は開集合となります。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
\(\Lambda=\emptyset\)とすると\(O=\emptyset\)となるので\(\emptyset\in\mathcal{O}\)となる。
\(\mathcal{B}\)は一意的には決まりません。
\(I=\emptyset\)とすると\(B=X\)となるので\(X\in\mathcal{B}\)となる。
準開基は一意的には決まりません。
性質
定義
(1)近傍
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、部分集合\(V_{x}\subseteq X\)が\(x\in V_{x}^{\;i}\subseteq V_{x}\)となるとき、\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。または、位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含むある開集合\(U_{x}\)が存在し、\(U_{x}\)を\(V_{x}\)が含むとき、すなわち\(x\in U_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。
\(U_{x}\)は開集合ですが、\(V_{x}\)は開集合とは限りません。
(2)開近傍
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含む開集合\(U_{x}\)を\(x\)の開近傍という。開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。
(3)閉近傍
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)と\(x\)を含む閉集合\(F_{x}\)があり、ある開集合\(U\)が存在し、\(x\in U\subseteq F_{x}\)となるとき、\(F_{x}\)を閉近傍という。閉近傍は近傍が閉集合となるときと同値である。
(4)近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、元\(x\in X\)の近傍全体からなる部分集合族\(\mathcal{V}_{x}=\left\{ V\subseteq X;x\in V^{i}\right\} \)を近傍系という。近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{V}_{x}\)は一意的に決まります。
基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)は
\[ \mathcal{V}_{x}=\left\{ V_{x}\subseteq X;\exists B_{x}\subseteq\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x}\right\} \] となる。
(5)開近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、任意の元\(x\in X\)の開近傍全体からなる集合族\(\mathcal{U}_{x}=\left\{ U\in\mathcal{O};x\in U\right\} \)を開近傍系という。開近傍系の元は開集合になります。
\(\mathcal{U}_{x}\)は一意的に決まります。
(6)基本近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と元\(x\in X\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)の部分集合\(\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x}\)があり、任意の近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)の元\(V_{x}\in\mathcal{V}_{x}\)に対し、ある\(\mathcal{B}_{x}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(B_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき、\(\mathcal{B}_{x}\)を基本近傍系という。すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x},\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x} \] である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
(7)基本開近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と元\(x\in X\)が与えられたとき、開近傍系\(\mathcal{U}_{x}\)の部分集合\(\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{U}_{x}\)があり、任意の開近傍系\(\mathcal{U}_{x}\)の元\(U_{x}\in\mathcal{U}_{x}\)に対し、ある\(\mathcal{B}_{x}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(B_{x}\subseteq U_{x}\)となるとき、\(\mathcal{B}_{x}\)を基本開近傍系という。すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{U}_{x},\forall U_{x}\in\mathcal{U}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq U_{x} \] である。
また、基本近傍系の元は全て開近傍であるものを基本開近傍系という。
基本開近傍系の元は開集合となります。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
(8)開基
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、ある部分集合\(\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}\)が存在し、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)に対し、ある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)で表されるとき、\(\mathcal{B}\)を開基という。\(\Lambda=\emptyset\)とすると\(O=\emptyset\)となるので\(\emptyset\in\mathcal{O}\)となる。
\(\mathcal{B}\)は一意的には決まりません。
(9)準開基
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の開基\(\mathcal{B}\)が与えられたとき、任意の\(B\in\mathcal{B}\)に対しある集合族\(\mathcal{C}\)の有限部分集合\(\left\{ C_{i};i\in I\right\} \subseteq\mathcal{C}\)が存在し\(B=\bigcap\left\{ C_{i};i\in I\right\} =\bigcap_{i\in I}C_{i}\)となるとき、\(\mathcal{C}\)を準開基という。\(I=\emptyset\)とすると\(B=X\)となるので\(X\in\mathcal{B}\)となる。
準開基は一意的には決まりません。
性質
(1)開基の別定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、集合族\(\mathcal{B}\)が開基であることと、集合族\(\mathcal{B}\)の任意の元が開集合であり、任意の開集合\(U\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in U\)についてある\(B_{x}\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B_{x}\subseteq U\)となることは同値である。(2)基本開近傍系から開基の作成
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があり、\(x\in X\)として基本開近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)があるとき、\(\mathcal{B}=\bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_{x}\)は開基となる。(3)開基から基本開近傍系の作成
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があり、開基\(\mathcal{B}\)があるとき、\(x\in X\)として、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} \)は\(x\)の基本開近傍系となる。(1)近傍
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\in\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b\right\} \)なので\(\left\{ a,b\right\} \)は\(a\)の近傍となる。
\(a\in\left\{ a,b,c\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b,c\right\} \)なので\(\left\{ a,b,c\right\} \)は\(a\)の近傍となる。
\(c\in\left\{ c\right\} ^{i}=\left\{ c\right\} \subseteq\left\{ c\right\} \)なので\(\left\{ c\right\} \)は\(c\)の近傍となる。
\(a\notin\left\{ a\right\} ^{i}=\emptyset\subseteq\left\{ a\right\} \)なので\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)の近傍ではない。
(2)開近傍
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\left\{ a\right\} \)と\(\left\{ a,b,c\right\} \)は\(a\)を元にもつ近傍で開集合なので\(a\)の開近傍となる。
\(\left\{ a,b\right\} \)は\(a\)を含む近傍であるが\(\left\{ a,b\right\} \)は開集合ではないので\(a\)の開近傍とならない。
(3)閉近傍
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。このとき、閉集合全体の集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)である。
\(\left\{ a,b,c\right\} \)は\(a\)を元にもつ近傍で閉集合なので\(a\)の閉近傍となる。
\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)を元にもつ閉集合であるが\(a\)を元にもつ近傍ではないので閉近傍ではない。
\(\left\{ b,c\right\} \)は\(b\)を元にもつ近傍であるが閉集合ではないので\(b\)の閉近傍とならない。
(4)近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\)を含む近傍系は\(\mathcal{V}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
\(c\)を含む近傍系は\(\mathcal{V}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
(5)開近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\)を含む開近傍系は\(\mathcal{U}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
\(c\)を含む開近傍系は\(\mathcal{U}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
(6)基本近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(a\)を含む基本近傍系となる。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)は近傍系の部分集合ではないので\(a\)を含む基本近傍系ではない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は近傍系の元であるが\(\left\{ a,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は近傍系の元であるが\(\left\{ a,b,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(c\)を含む基本近傍系となる。
距離空間を\(\left(X,d\right)\)とすると、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)を含む基本近傍系となる。
(7)基本開近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(a\)を含む基本開近傍系となる。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)は開近傍系の部分集合ではないので\(a\)を含む基本開近傍系ではない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は開近傍系の元であるが\(\left\{ a,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本開近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は開近傍系の元であるが\(\left\{ a,b,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本開近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(c\)を含む基本開近傍系となる。
距離空間を\(\left(X,d\right)\)とすると、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)を含む基本開近傍系となる。
(8)開基
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} \)は開集合全体の部分集合であり、\(\bigcup_{A\in\emptyset}A=\emptyset,\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ c\right\} =\left\{ a,b,c\right\} \)なので開基となる。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)は開集合\(\left\{ a,b,c\right\} \)が\(B\)の元の和集合で表せないので開基とはならない。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は開集合\(\left\{ c\right\} \)が\(\mathcal{B}\)の元の和集合で表せないので開基とはならない。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} \)は\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)が開集合でないので開基ではない。
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は1点集合の全体\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ x\right\} ;x\in X\right\} \)が開基となる。
距離空間\(\left(X,d\right)\)は各点の\(\epsilon\)近傍全体\(\mathcal{B}=\left\{ B_{\epsilon}\left(x\right);x\in X,\epsilon>0\right\} \)が開基となる。
2つの位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)の直積位相空間\(\left(X\times Y,\mathcal{O}\right)\)は\(\mathcal{B}=\left\{ O_{X}\times O_{Y},O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \)が開基となる。
(9)準開基
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)の開基を\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)とする。\(\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)は開基の部分集合であり、\(\left\{ a\right\} =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} =\left\{ a,c\right\} \)なので準開基となる。
\(\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)は開基の元\(\left\{ a,b\right\} \)が\(\mathcal{C}\)の元の積集合で表せないので準開基とはならない。
(1)
\(\Rightarrow\)
条件より\(\mathcal{B}\)は開基であるので\(\mathcal{B}\)の任意の元は開集合となる。また、任意の開集合\(U\in\mathcal{O}\)について、ある\(\mathcal{B}\)の部分集合\(\mathcal{B}'\subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(\mathcal{B}\)は開基なので\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)とできる。
このとき、任意の元\(x\in U\)について、ある\(B_{x}\in\mathcal{B}'\)が存在し、\(x\in B_{x}\)かつ\(B_{x}\subseteq U\)となるので、\(B_{x}\in\mathcal{B}'\subseteq\mathcal{B}\)かつ\(x\in B_{x}\subseteq U\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より、任意の開集合\(U\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in U\)について、ある\(B_{x}\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B_{x}\subseteq U\)となるようにできる。このとき、\(U=\bigcup_{x\in U}B_{x}\)となるので、\(\mathcal{B}'=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in U,x\in B_{x}\subseteq U\right\} \subseteq\mathcal{B}\)とおくと\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)となる。
従って、任意の開集合\(U\in\mathcal{O}\)について、\(\mathcal{B}'=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in U,x\in B_{x}\subseteq U\right\} \subseteq\mathcal{B}\)とおくと\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)となり、\(\mathcal{B}\)の任意の元は開集合なので、\(\mathcal{B}\)は開基となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(2)
任意の\(O\in\mathcal{O}\)と任意の\(x\in O\)について、ある基本開近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(B_{x}\subseteq O\)となる。このとき、\(B_{x}\in\mathcal{B}\)となり、\(O=\bigcup_{x\in O}B_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}=\bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_{x}\)は開基となる。
(3)
\(x\in X\)として、\(x\)の近傍\(U_{x}\)をとると、ある部分集合\(\mathcal{U}\subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(U_{x}\)の内部\(U_{x}^{i}=\bigcup_{u\in\mathcal{U}}U\)となる。ここで、\(U\in\mathcal{U}\)が\(x\in U\)となるとき、\(U\in\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} \)となり、\(U\subseteq U_{x}\)となる。
従って、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} \)は基本開近傍系となる。
ページ情報
| タイトル | 近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ot74qrw8/ |
| SNSボタン |
log₂3とlog₃5の大小比較
\[
\log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5
\]
冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]
下りエレベータの確率
次にエレベーターが着いたときに下りの確率はいくつでしょうか？
同値関係と順序関係(前順序・弱順序・半順序・全順序・整列順序・狭義半順序・狭義全順序)の定義