空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき以下が成り立つ。
\(A^{e}\)は外部
\(A^{f}\)は境界
\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき以下が成り立つ。
(1)
\[ \emptyset^{i}=\emptyset \](2)
\[ \emptyset^{e}=X \](3)
\[ \emptyset^{f}=\emptyset \](4)
\[ \emptyset^{a}=\emptyset \](5)
\[ \emptyset^{d}=\emptyset \](6)
\[ \emptyset^{s}=\emptyset \](7)
\[ X^{i}=X \](8)
\[ X^{e}=\emptyset \](9)
\[ X^{f}=\emptyset \](10)
\[ X^{a}=X \](11)
\[ X^{d}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}\right\} \](12)
\[ X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \]-
\(A^{i}\)は内部\(A^{e}\)は外部
\(A^{f}\)は境界
\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
(1)
\(\emptyset\)は開集合なので\(\emptyset=\emptyset^{i}\)となる。(2)
\begin{align*} \emptyset^{e} & =\emptyset^{ci}\\ & =X^{i}\\ & =X \end{align*}(3)
境界の定義より、\begin{align*} \emptyset^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap X\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}
(4)
\(\emptyset\)は閉集合なので\(\emptyset=\emptyset^{a}\)となる。(5)
導集合の定義より、\begin{align*} \emptyset^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\emptyset\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}
(6)
孤立点全体の集合の定義より、\begin{align*} \emptyset^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}
(7)
\(X\)は開集合なので\(X=X^{i}\)となる。(8)
\begin{align*} X^{e} & =X^{ci}\\ & =\emptyset^{i}\\ & =\emptyset \end{align*}(9)
境界の定義より、\begin{align*} X^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap X^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}
(10)
\(X\)は閉集合なので\(X=X^{a}\)となる。(11)
導集合の定義より、\begin{align*} X^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(X\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left\{ x\right\} ^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\nsubseteq\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\ne\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}\right\} \end{align*}
(12)
孤立点全体の集合の定義より、\begin{align*} X^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合 |
URL | https://www.nomuramath.com/ho4fta0a/ |
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位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[
\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A
\]
位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[
A^{i}\subseteq A
\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[
A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\]
導集合・孤立点全体の集合の別表現
\[
A^{d}\Leftrightarrow\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right)
\]