空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき以下が成り立つ。
(1)
\[ \emptyset^{i}=\emptyset \]
(2)
\[ \emptyset^{e}=X \]
(3)
\[ \emptyset^{f}=\emptyset \]
(4)
\[ \emptyset^{a}=\emptyset \]
(5)
\[ \emptyset^{d}=\emptyset \]
(6)
\[ \emptyset^{s}=\emptyset \]
(7)
\[ X^{i}=X \]
(8)
\[ X^{e}=\emptyset \]
(9)
\[ X^{f}=\emptyset \]
(10)
\[ X^{a}=X \]
(11)
\[ X^{d}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}\right\} \]
(12)
\[ X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \]
-
\(A^{i}\)は内部
\(A^{e}\)は外部
\(A^{f}\)は境界
\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
(1)
\(\emptyset\)は開集合なので\(\emptyset=\emptyset^{i}\)となる。
(2)
\begin{align*} \emptyset^{e} & =\emptyset^{ci}\\ & =X^{i}\\ & =X \end{align*}
(3)
境界の定義より、
\begin{align*}
\emptyset^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset^{c}\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap X\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\
& =\emptyset
\end{align*}
(4)
\(\emptyset\)は閉集合なので\(\emptyset=\emptyset^{a}\)となる。
(5)
導集合の定義より、
\begin{align*}
\emptyset^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\emptyset\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\
& =\emptyset
\end{align*}
(6)
孤立点全体の集合の定義より、
\begin{align*}
\emptyset^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset=\left\{ x\right\} \right\} \\
& =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\
& =\emptyset
\end{align*}
(7)
\(X\)は開集合なので\(X=X^{i}\)となる。
(8)
\begin{align*} X^{e} & =X^{ci}\\ & =\emptyset^{i}\\ & =\emptyset \end{align*}
(9)
境界の定義より、
\begin{align*}
X^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap X^{c}\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land\emptyset\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\
& =\emptyset
\end{align*}
(10)
\(X\)は閉集合なので\(X=X^{a}\)となる。
(11)
導集合の定義より、
\begin{align*}
X^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(X\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left\{ x\right\} ^{c}\ne\emptyset\right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\nsubseteq\left\{ x\right\} \right\} \\
& =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\ne\left\{ x\right\} \right\} \\
& =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}\right\}
\end{align*}
(12)
孤立点全体の集合の定義より、
\begin{align*}
X^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X=\left\{ x\right\} \right\} \\
& =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}=\left\{ x\right\} \right\} \\
& =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | 空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合 |
URL | https://www.nomuramath.com/ho4fta0a/ |
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