稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義

by nomura · 2023年7月24日

稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
位相空間$(X,\mathcal{O})$、部分集合$A\subseteq X$とする。

(1)稠密集合

$A$の閉包が全体集合になるとき、すなわち、
\[ A^{a}=X \] のとき$A$は$X$で稠密(ちゅうみつ)集合という。

(2)疎集合

$A$の閉包の内部が空集合になるとき、すなわち、
\[ A^{ai}=\emptyset \] のとき$A$は$X$で疎(そ)集合という。

(3)完全集合

$A$の導集合が$A$になるとき、すなわち、
\[ A^{d}=A \] のとき$A$は完全集合という。

(4)離散集合

$A$の孤立点全体の集合が$A$となるとき、すなわち、
\[ A^{s}=A \] のとき、$A$を離散集合という。

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$A^{i}$は内部
$A^{a}$は閉包
$A^{d}$は導集合
$A^{s}$は孤立点全体の集合

(1)稠密集合

密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は空集合でない任意の部分集合$A\subseteq X$に対し、$A$は稠密集合となる。
$X=\mathbb{R}$として通常位相をとると、有理数全体の集合$\mathbb{Q}$は稠密集合となる。

(2)疎集合

位相空間$\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)$で$\left\{ b\right\} ^{ai}=\left\{ b\right\} ^{i}=\emptyset$となるので$\left\{ b\right\} $は疎集合となる。
$X=\mathbb{R}$として通常位相をとると、$\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} $は疎集合となる。

(3)完全集合

$2\leq X$の密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$で$X^{d}=X$となるので$X$は完全集合となる。
位相空間$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$で$\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} $となるので$\left\{ a,b\right\} $は完全集合となる。
$X=\mathbb{R}$として通常位相をとると、$\left[0,1\right]$は完全集合となる。

(4)離散集合

離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は任意の部分集合$A\subseteq X$に対し、$A$は離散集合となる。
$X=\mathbb{R}$として通常位相をとると、$\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} $は離散集合となる。

ページ情報

タイトル	稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
URL	https://www.nomuramath.com/e9mrjttl/
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