弧状連結と連結の関係
弧状連結ならば連結。
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。
連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
連結・弧状連結な部分集合の連続写像による像は連結・弧状連結となる。
弧状連結の定義
連結であることと離散位相空間への連続写像による同値
位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
連結・非連結の別定義
非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。
連結と非連結の定義
\[\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset\]
上限位相空間・下限位相空間の第1可算公理・第2可算公理
上限位相空間・下限位相空間は第1可算公理を満たすが第2可算公理は満たさない。
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相空間・下限位相空間の分離公理(T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
上限位相空間・下限位相空間は非連結
上限位相空間・下限位相空間はコンパクトでない
上限位相・下限位相での開集合と閉集合
上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相・下限位相は通常位相より強い
\[\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\]
上限位相と下限位相の定義
\[\mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\} \]