点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
カテゴリー: 空間
コーシー列と部分列の収束
コーシー列と部分列の収束
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。
ハイネ・カントールの定理
有界閉区間上で関数が連続ならば一様連続である。
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]
連続と開集合の逆像が開集合は同値
連続と開集合の逆像が開集合は同値
距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]
全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。
離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。
距離空間での空集合・全体集合・1点集合
距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
距離空間での有界列の定義
\[
d\left(x_{n},a\right)\leq M
\]
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
ε近傍(開球)の定義
\[
U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\}
\]
単射により誘導された距離空間
\[
d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)
\]
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
離散距離は距離空間
\[
d_{0}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]
マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]