距離空間では点列の収束先は一意的
距離空間では点列の収束先は一意的
距離空間\(\left(X,d\right)\)では点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\text{の}\)収束先が一意的となる。
距離空間\(\left(X,d\right)\)では点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\text{の}\)収束先が一意的となる。
一般的にハウスドルフ空間であることと、収束先が一意的であることは同値である。
これより、距離空間はハウスドルフ空間であるので収束先が一意的となる。
これより、距離空間はハウスドルフ空間であるので収束先が一意的となる。
収束先が一意的でないと仮定する。
このときの収束先を\(a_{1},a_{2}\in X,a_{1}\ne a_{2}\)とする、
収束の定義より、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N_{1}\in\mathbb{N},N_{1}<n_{1}\rightarrow d\left(x_{n_{1}},a_{1}\right)<\epsilon \] \[ \forall\epsilon>0,\exists N_{2}\in\mathbb{N},N_{2}<n_{2}\rightarrow d\left(x_{n_{2}},a_{2}\right)<\epsilon \] となるので、\(N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} \)とおくと、
\[ N<n\rightarrow d\left(x_{n},a_{1}\right)<\epsilon\land d\left(x_{n},a_{2}\right)<\epsilon \] となる。
また、\(a_{1}\ne a_{2}\)より、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり、\(N<n\)のとき、
\begin{align*} 0 & <d\left(a_{1},a_{2}\right)\\ & \leq d\left(a_{1},x_{n}\right)+d\left(x_{n},a_{2}\right)\\ & \leq\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となるが\(\epsilon\)は任意なので\(\epsilon\rightarrow+0\)とすると、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\leq0\)となり矛盾。
故に背理法より、仮定が間違いで収束先が一意的となる。
このときの収束先を\(a_{1},a_{2}\in X,a_{1}\ne a_{2}\)とする、
収束の定義より、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N_{1}\in\mathbb{N},N_{1}<n_{1}\rightarrow d\left(x_{n_{1}},a_{1}\right)<\epsilon \] \[ \forall\epsilon>0,\exists N_{2}\in\mathbb{N},N_{2}<n_{2}\rightarrow d\left(x_{n_{2}},a_{2}\right)<\epsilon \] となるので、\(N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} \)とおくと、
\[ N<n\rightarrow d\left(x_{n},a_{1}\right)<\epsilon\land d\left(x_{n},a_{2}\right)<\epsilon \] となる。
また、\(a_{1}\ne a_{2}\)より、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり、\(N<n\)のとき、
\begin{align*} 0 & <d\left(a_{1},a_{2}\right)\\ & \leq d\left(a_{1},x_{n}\right)+d\left(x_{n},a_{2}\right)\\ & \leq\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となるが\(\epsilon\)は任意なので\(\epsilon\rightarrow+0\)とすると、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\leq0\)となり矛盾。
故に背理法より、仮定が間違いで収束先が一意的となる。
ページ情報
| タイトル | 距離空間では点列の収束先は一意的 |
| URL | https://www.nomuramath.com/cz3hs4o0/ |
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距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
ルベーグの被覆補題
\[
\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U
\]
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]
全有界ならば有界
全有界ならば有界である。