距離空間では点列の収束先は一意的

収束先が一意的でないと仮定する。
このときの収束先を\(a_{1},a_{2}\in X,a_{1}\ne a_{2}\)とする、
収束の定義より、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N_{1}\in\mathbb{N},N_{1}<n_{1}\rightarrow d\left(x_{n_{1}},a_{1}\right)<\epsilon \] \[ \forall\epsilon>0,\exists N_{2}\in\mathbb{N},N_{2}<n_{2}\rightarrow d\left(x_{n_{2}},a_{2}\right)<\epsilon \] となるので、\(N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} \)とおくと、
\[ N<n\rightarrow d\left(x_{n},a_{1}\right)<\epsilon\land d\left(x_{n},a_{2}\right)<\epsilon \] となる。
また、\(a_{1}\ne a_{2}\)より、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり、\(N<n\)のとき、
\begin{align*} 0 & <d\left(a_{1},a_{2}\right)\\ & \leq d\left(a_{1},x_{n}\right)+d\left(x_{n},a_{2}\right)\\ & \leq\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となるが\(\epsilon\)は任意なので\(\epsilon\rightarrow+0\)とすると、\(0<d\left(a_{1},a_{2}\right)\leq0\)となり矛盾。
故に背理法より、仮定が間違いで収束先が一意的となる。