距離空間では点列の収束先は一意的

by nomura · 2024年4月2日

距離空間では点列の収束先は一意的
距離空間

(X, d)

では点列

{(x_{n})}_{n \in N} の

収束先が一意的となる。

一般的にハウスドルフ空間であることと、収束先が一意的であることは同値である。
これより、距離空間はハウスドルフ空間であるので収束先が一意的となる。

収束先が一意的でないと仮定する。
このときの収束先を

a_{1}, a_{2} \in X, a_{1} \neq a_{2}

とする、
収束の定義より、

\forall ϵ > 0, \exists N_{1} \in N, N_{1} < n_{1} \to d (x_{n_{1}}, a_{1}) < ϵ

\forall ϵ > 0, \exists N_{2} \in N, N_{2} < n_{2} \to d (x_{n_{2}}, a_{2}) < ϵ

となるので、

N = max {N_{1}, N_{2}}

とおくと、

N < n \to d (x_{n}, a_{1}) < ϵ \land d (x_{n}, a_{2}) < ϵ

となる。
また、

a_{1} \neq a_{2}

より、

0 < d (a_{1}, a_{2})

となり、

N < n

のとき、

\begin{aligned} 0 & < d (a_{1}, a_{2}) \\ \leq d (a_{1}, x_{n}) + d (x_{n}, a_{2}) \\ \leq ϵ + ϵ \\ = 2 ϵ \end{aligned}

となるが

ϵ

は任意なので

ϵ \to + 0

とすると、

0 < d (a_{1}, a_{2}) \leq 0

となり矛盾。
故に背理法より、仮定が間違いで収束先が一意的となる。

ページ情報

タイトル	距離空間では点列の収束先は一意的
URL	https://www.nomuramath.com/cz3hs4o0/
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d (x, A) = 0 \Leftrightarrow x \in A^{a}

d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)

d_{f} (a, b) = d (f (a), f (b))

(X, d)

\emptyset

X