ガンマ関数の半整数値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数の微分
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)\]
ガンマ関数の1/2値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[ \Gamma(n+1)=n!\]
ガンマ関数の漸化式
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\]
積分問題
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\]
e^(ikx)の和
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[ P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[ \frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\} \]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z)\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[ P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[ \sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[ P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[ P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[ P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
\[ P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!}\]
連続で出来る部分分数分解
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right)\]
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}\]
logの2乗の級数表示
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[ \psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}\]