ガンマ関数の無限乗積
ガンマ関数の無限乗積
\[ \gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}-\log n\right) \] である。
(1)ガウス表示
\[ \Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1) \](2)オイラー表示
\[ \Gamma(x)=\frac{1}{x}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{x}\prod_{j=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{j}\right)^{-1} \](3)ワイエルシュトラス表示
\[ \frac{1}{\Gamma(x)}=xe^{\gamma x}\prod_{j=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{j}\right)e{}^{-\frac{x}{j}} \] ただし、\(\gamma\)はオイラー定数\[ \gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}-\log n\right) \] である。
(1)
\begin{align*} \Gamma(x) & =\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{n}dt\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}\int_{0}^{1}s^{x-1}(1-s)^{n}ds\qquad,\qquad t=ns\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}B(n+1,x)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!P^{-1}(x+n,n+1)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1) \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma(x) & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!P(x,-(n+1))\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!\prod_{j=0}^{n}\frac{1}{x+j}\\ & =\frac{1}{x}\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k+1}{k}\right)^{x}\prod_{j=1}^{n}\frac{j}{x+j}\\ & =\frac{1}{x}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{x}\prod_{j=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{j}\right)^{-1} \end{align*}(3)
\begin{align*} \frac{1}{\Gamma(x)} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{-x}}{n!}P^{-1}(x,-(n+1))\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{-x}}{n!}\prod_{j=0}^{n}(x+j)\\ & =x\lim_{n\rightarrow\infty}n^{-x}\prod_{j=1}^{n}\left(\frac{x+j}{j}\right)\\ & =x\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(-x\log n)\prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{x}{j}\right)\exp\left(\frac{x}{j}\right)\exp\left(-\frac{x}{j}\right)\\ & =x\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(-x\log n)\exp\left(x\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}\right)\prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{x}{j}\right)\exp\left(-\frac{x}{j}\right)\\ & =x\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left\{ x\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}-\log n\right)\right\} \prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{x}{j}\right)\exp\left(-\frac{x}{j}\right)\\ & =xe^{x\gamma}\prod_{j=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{j}\right)e{}^{-\frac{x}{j}} \end{align*}ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の無限乗積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lnzeiwcx/ |
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ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[
\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]