ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
(1)ガンマ関数
\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\qquad\Re(z)>0 \]
(2)ディガンマ関数
\[ \psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z) \]
(3)ポリガンマ関数
\[ \psi^{(n)}(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi(z)=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z) \]
ページ情報
タイトル | ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/u3m5jiu0/ |
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ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[
\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x}
\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]