ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
(1)ガンマ関数
\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\qquad\Re(z)>0 \]
(2)ディガンマ関数
\[ \psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z) \]
(3)ポリガンマ関数
\[ \psi^{(n)}(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi(z)=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z) \]
ページ情報
タイトル | ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/u3m5jiu0/ |
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ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[
\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質
\[
\Gamma\left(1,x\right)=e^{-x}
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]