ファウルハーバー公式(冪乗和公式)

ファウルハーバー公式

自然数\(j\)の冪乗和は以下の式で表される。

\[ \sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right) \]

\(B(x)\)はベルヌーイ多項式である。

オイラー和公式より、

\begin{align*} \sum_{j=1}^{n}j^{m} & =\sum_{k=0}^{N}\left[\frac{B_{k}}{k!}\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(x^{m}\right)\right]_{x=1}^{x=n+1}+R_{N}\\ & =\sum_{k=0}^{N}\left[\frac{B_{k}}{k!}P(m,k-1)x^{m-k+1}\right]_{1}^{n+1}+R_{N}\\ & =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{N}\left[B_{k}C(m+1,k)x^{m-k+1}\right]_{1}^{n+1}+R_{N}\qquad,\qquad N=m+1\text{とする}\\ & =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}\left[B_{k}C(m+1,k)x^{m-k+1}\right]_{1}^{n+1}+R_{m+1}\\ & =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}\left[B_{k}C(m+1,k)\left\{ (n+1)^{m-k+1}-1\right\} \right]\qquad,\qquad B_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)B_{n-k}x^{k}\\ & =\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right) \end{align*}

ただし、

\begin{align*} R_{N} & =(-1)^{N+1}\int_{0}^{n+1}\frac{B_{N}(x-\left\lfloor x\right\rfloor )}{N!}\left(\frac{d^{N}}{dx^{N}}x^{m}\right)dx\\ & =(-1)^{N+1}\int_{0}^{n+1}B_{N}(x-\left\lfloor x\right\rfloor )C(m,N)x^{m-N}dx \end{align*}

である。

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ファウルハーバー公式(冪乗和公式)

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