eの冪乗の基本
\[e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}\]
複素数の冪関数の定義
\[\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}\]
2重和の変換
\[\sum_{m=a}^{\infty}\sum_{n=b}^{\infty}f(m,n)=\sum_{t=a+b}^{\infty}\sum_{s=a}^{t-b}f(s,t-s)\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)\]
チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)\]
チェビシェフの微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0\]
チェビシェフ多項式の奇遇性
\[T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\]
第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[T_{n}(\cos t)=\cos(nt)\]
2重根号の逆数の総和
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right)\]
2項変換と交代2項変換の逆変換
\[a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}\]
クロネッカーのデルタの表示
\[\delta_{mn}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+m}}{(m-k)!(k-n)!}\]
クロネッカーのデルタの性質
\[f(n)\delta_{mn}=f(m)\delta_{mn}\]
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}\]
三角関数と双曲線関数の対数
\[\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C\]