チェビシェフ多項式の漸化式
チェビシェフ多項式の漸化式
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) \]
(2)
\[ U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x) \]
(1)
加法定理より、
\[ \cos\left((k\pm1)t\right)=\cos\left(kt\right)\cos t\mp\sin\left(kt\right)\sin t \]
となるので、
\[ \cos\left((k+1)t\right)=2\cos\left(kt\right)\cos t-\cos\left((k-1)t\right) \]
これより、
\[ T_{k+1}(\cos t)=2T_{k}(\cos t)\cos t-T_{k-1}(\cos t) \]
となるので、
\[ T_{k+1}(x)=2xT_{k}(x)-T_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、
\[ \sin\left((k\pm1)t\right)=\sin(kt)\cos t\pm\cos(kt)\sin t \]
となるので、
\[ \sin\left((k+1)t\right)=2\sin(kt)\cos t-\sin\left((k-1)t\right) \]
これより、
\[ U_{k}(\cos t)\sin t=2U_{k-1}(\cos t)\sin t\cos t-U_{k-2}(\cos t)\sin t \]
となるので、
\[
U_{k}(x)=2xU_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)
\]
ページ情報
タイトル | チェビシェフ多項式の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/riaa57uv/ |
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第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[
T_{n}(\cos t)=\cos(nt)
\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[
\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}
\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[
T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)
\]