(1)

加法定理より、

\[ \cos\left((k\pm1)t\right)=\cos\left(kt\right)\cos t\mp\sin\left(kt\right)\sin t \]

となるので、

\[ \cos\left((k+1)t\right)=2\cos\left(kt\right)\cos t-\cos\left((k-1)t\right) \]

これより、

\[ T_{k+1}(\cos t)=2T_{k}(\cos t)\cos t-T_{k-1}(\cos t) \]

となるので、

\[ T_{k+1}(x)=2xT_{k}(x)-T_{k-1}(x) \]

(2)

加法定理より、

\[ \sin\left((k\pm1)t\right)=\sin(kt)\cos t\pm\cos(kt)\sin t \]

となるので、

\[ \sin\left((k+1)t\right)=2\sin(kt)\cos t-\sin\left((k-1)t\right) \]

これより、

\[ U_{k}(\cos t)\sin t=2U_{k-1}(\cos t)\sin t\cos t-U_{k-2}(\cos t)\sin t \]

となるので、
\[ U_{k}(x)=2xU_{k-1}(x)-U_{k-2}(x) \]