偶数と奇数の2重階乗

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。

(1)

\[ \left(2n\right)!!=2^{n}n! \]

(2)

\[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]

(1)

\begin{align*} \left(2n\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}2k\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}k\\ & =2^{n}n! \end{align*}

(2)

\begin{align*} \left(2n+1\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}\left(2k+1\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{\left(k+\frac{1}{2}\right)!}{\left(k-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\left(\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \end{align*}

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タイトル

偶数と奇数の2重階乗

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