偶数と奇数の2重階乗
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \left(2n\right)!!=2^{n}n! \]
(2)
\[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]
(1)
\begin{align*} \left(2n\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}2k\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}k\\ & =2^{n}n! \end{align*}
(2)
\begin{align*} \left(2n+1\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}\left(2k+1\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{\left(k+\frac{1}{2}\right)!}{\left(k-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\left(\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 偶数と奇数の2重階乗 |
URL | https://www.nomuramath.com/i5egz33z/ |
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ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数$\Gamma\left(z\right)$は$\Re\left(z\right)>0$で絶対収束
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]