偶数と奇数の2重階乗
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \left(2n\right)!!=2^{n}n! \](2)
\[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \](1)
\begin{align*} \left(2n\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}2k\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}k\\ & =2^{n}n! \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(2n+1\right)!! & =\prod_{k=1}^{n}\left(2k+1\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{\left(k+\frac{1}{2}\right)!}{\left(k-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\left(\frac{1}{2}\right)!}\\ & =2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \end{align*}ページ情報
タイトル | 偶数と奇数の2重階乗 |
URL | https://www.nomuramath.com/i5egz33z/ |
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ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)
\]