チェビシェフ多項式の奇遇性
チェビシェフ多項式の奇遇性
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x) \](2)
\[ U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x) \](1)
\begin{align*} T_{n}(-\cos t) & =T_{n}(\cos(\pi-t))\\ & =\cos\left(n(\pi-t)\right)\\ & =\cos(n\pi)\cos(-nt)-\sin(n\pi)\sin(-nt)\\ & =(-1)^{n}\cos(nt)\\ & =(-1)^{n}T_{n}(\cos t) \end{align*} これより、\[ T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x) \]
(2)
\begin{align*} U_{n}(-\cos t) & =U_{n}(\cos(\pi-t))\\ & =\frac{\sin((n+1)(\pi-t))}{\sin(\pi-t)}\\ & =\frac{\sin\left((n+1)\pi\right)\cos\left(-(n+1)t\right)+\cos\left((n+1)\pi\right)\sin\left(-(n+1)t\right)}{\sin t}\\ & =\frac{(-1)^{n}\sin\left((n+1)t\right)}{\sin t}\\ & =(-1)^{n}U_{n}(\cos t) \end{align*} これより、\[ U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x) \]
ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の奇遇性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zlbeth48/ |
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第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[
V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)
\]
チェビシェフの微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[
\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}
\]
チェビシェフ多項式の直交性
\[
\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)
\]