2項変換と交代2項変換の逆変換
(1)2項変換の逆変換
2項変換\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)a_{k} \] の逆変換は
\begin{align*} a_{n} & =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C(n,k)b_{n-k} \end{align*} となる。
(2)交代2項変換の逆変換
交代2項変換\[ b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)a_{k} \] の逆変換は
\begin{align*} a_{n} & =\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)b_{k} \end{align*} となる。
(1)
\begin{align*} a_{n} & =\sum_{k=0}^{n}\delta_{nk}a_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{j+n}C(n,j)C(j,k)a_{k}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{j+n}C(n,j)b_{j}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{n-j}C(n,j)b_{j}\qquad\tag{*}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{j}C(n,j)b_{n-j} \end{align*}(1)-2
母関数を定義する。\begin{align*} A(x) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}x^{k}}{k!}\\ B(x) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b_{k}x^{k}}{k!} \end{align*} これを使うと、
\begin{align*} B(x) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\sum_{j=0}^{k}C(k,j)a_{j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\frac{a_{j}x^{j}}{j!}\frac{x^{k-j}}{(k-j)!}\\ & =\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_{j}x^{j}}{j!}\frac{x^{m}}{m!}\\ & =A(x)e^{x} \end{align*} これより、
\begin{align*} A(x) & =B(x)e^{-x}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{b_{k}x^{k}}{k!}\frac{(-x)^{j}}{j!}\\ & =\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{m}\frac{b_{k}x^{k}}{k!}\frac{(-x)^{m-k}}{(m-k)!}\\ & =\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{m}C(m,k)(-1)^{m-k}b_{k}\right)\frac{x^{m}}{m!} \end{align*} となるので、
\begin{align*} a_{m} & =\sum_{k=0}^{m}C(m,k)(-1)^{m-k}b_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{m}C(m,k)(-1)^{k}b_{m-k} \end{align*}
(2)
\begin{align*} a_{n} & =\sum_{k=0}^{n}\delta_{nk}a_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\delta_{nk}a_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}\left(-1\right)^{n+j}C\left(n,j\right)C\left(j,k\right)a_{k}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{j}C\left(n,j\right)b_{j} \end{align*}ページ情報
タイトル | 2項変換と交代2項変換の逆変換 |
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2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数の逆数の差分
\[
C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]