微分形接触型積分
\[\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[\int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cmt{t=\tan\frac{x}{2}}\]
逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示
\[\Sin^{\bullet}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right)\]
ルートの中に2乗を含む積分
\[\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}\]
部分積分と繰り返し部分積分
\[\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\]
逆関数の微分
\[\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}\]
log₂3とlog₃5の大小比較
\[\log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5\]
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e}\]
三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数
\[\log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k}\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}\]
ゼータ関数の交代級数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2}\]
tanの立方根の積分
\[\int\sqrt[3]{\tan x}dx=\frac{1}{4}\log\left(\tan^{\frac{4}{3}}x-\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan^{\bullet}\left(\frac{2\tan^{\frac{2}{3}}x-1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+C\]
tanの平方根の積分
\[\int\sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x-\sqrt{2\tan x}+1\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x+\sqrt{2\tan x}+1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}-1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}+1\right)+C\]
ζ(4k)の総和
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1\]
偶数ゼータの通常型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)\]
逆2乗の別表示
\[\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx\]
ζ(2)の値
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\]
対数のルート積分
\[\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C\]
相補誤差関数と虚数誤差関数の表示
\[erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt\]
誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義
\[erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\]
分母に2乗根と3乗根の積分
\[\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)\]
分母に(1+x²)²を含む積分
\[\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)\]