ガンマ関数を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1\]
ウォリス積分を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]
ウォリス積分の値
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}\]
ウォリス積分の同表示
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta\]
ウォリス積分の定義
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta\]
ウォリスの公式
\[\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}\]
２項係数とベータ関数の関係
\[B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}\]
ベータ関数の微分
\[\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}\]
ガウスの乗法公式
\[\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)\]
sinc関数のn乗広義積分
\[\int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k)\]
対数関数のn回積分
\[\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}\]
ガンマ関数の相反公式
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
ベータ関数の関数等式
\[xB(x,y+1)=yB(x+1,y)\]
ベータ関数になる積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)\]
多重対数関数の漸化式
\[Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}\]
多重対数関数の基本的性質
\[\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\]
多重対数関数の定義
\[Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}\]
(*)平方剰余の相互法則と補充法則
\[QR(p,q)QR(q,p)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]