第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
(1)
\[ nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x) \](2)
\[ U_{n-1}'(x)=\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \](1)
\begin{align*} T_{n}'(x) & =\frac{d}{dx}\cos(n\cos^{\bullet}x)\\ & =-\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)\frac{-n}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ & =n\frac{\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\left(\cos^{\bullet}x\right)}\\ & =nU_{n-1}(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{n-1}'(x) & =\frac{d}{dx}\frac{\sin(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\bullet}x)\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\sin\cos^{\bullet}x+\sin(n\cos^{\bullet}x)\cos\cos^{\bullet}x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{\sin^{2}\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\bullet}x)+\sin(n\cos^{\bullet}x)\frac{x}{\sin\cos^{\bullet}x}}{1-x^{2}}\\ & =\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h2c9hwaz/ |
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第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[
\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[
V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)
\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[
\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)
\]