第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係

第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係

(1)

\[ nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x) \]

(2)

\[ U_{n-1}'(x)=\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \]

(1)

\begin{align*} T_{n}'(x) & =\frac{d}{dx}\cos(n\cos^{\circ}x)\\ & =-\sin\left(n\cos^{\circ}x\right)\frac{-n}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ & =n\frac{\sin\left(n\cos^{\circ}x\right)}{\sin\left(\cos^{\circ}x\right)}\\ & =nU_{n-1}(x) \end{align*}

(2)

\begin{align*} U_{n-1}'(x) & =\frac{d}{dx}\frac{\sin(n\cos^{\circ}x)}{\sin\cos^{\circ}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\circ}x)\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\sin\cos^{\circ}x+\sin(n\cos^{\circ}x)\cos\cos^{\circ}x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{\sin^{2}\cos^{\circ}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\circ}x)+\sin(n\cos^{\circ}x)\frac{x}{\sin\cos^{\circ}x}}{1-x^{2}}\\ & =\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \end{align*}

ページ情報

タイトル

第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係

URL

https://www.nomuramath.com/h2c9hwaz/

SNSボタン