距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。
距離空間での空集合・全体集合・1点集合
距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\} \]
距離空間での有界列の定義
\[d\left(x_{n},a\right)\leq M\]
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A\]
ε近傍(開球)の定義
\[U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \]
単射により誘導された距離空間
\[d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)\]
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}\]
チェビシェフ距離は距離空間
\[d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)\]
離散距離は距離空間
\[d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}\end{cases}\]
パリ距離は距離空間
\[d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other\end{cases}\]
マンハッタン距離は距離空間
\[d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|\]
ユークリッド距離は距離空間
\[d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間での開集合全体の集合
\[\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}\]
距離空間でε-近傍は開集合
\[\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \]
距離空間の定義
\[d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)\]
簡単な2次式の素数問題
\[n^{2}-6n+8\text{が素数のなる}n\]
無限に掛けるとどうなる？
\[2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots=?\]
5次式の因数分解
\[x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\text{を因数分解せよ}\]
3点を通る円
\[\det\left(\begin{array}{cccc}x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right)=0\]