ε近傍(開球)の定義
ε近傍(開球)の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離\(d\)を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)で\(a\in\mathbb{R},\epsilon>0\)とすると\(\epsilon\)近傍\(U\left(a,\epsilon\right)\)は開集合\(\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)\)となる。
ページ情報
| タイトル | ε近傍(開球)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aynu4zz7/ |
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全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]