ε近傍(開球)の定義
ε近傍(開球)の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離\(d\)を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)で\(a\in\mathbb{R},\epsilon>0\)とすると\(\epsilon\)近傍\(U\left(a,\epsilon\right)\)は開集合\(\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)\)となる。
ページ情報
| タイトル | ε近傍(開球)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aynu4zz7/ |
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距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
距離空間での有界列の定義
\[
d\left(x_{n},a\right)\leq M
\]
距離空間での開集合と点列の収束