距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
対偶をとると、ハウスドルフ空間でないならば距離空間とはならない。
\(\Rightarrow\)
距離空間\(\left(X,d\right)\)の任意の異なる2点\(x,y\)に対し、\(0<d\left(x,y\right)\)なので\(\epsilon=d\left(x,y\right)\)とおくと、開近傍\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right),U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)\)は\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right)\cap U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)=\emptyset\)を満たすのでハウスドルフ空間になる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
上限位相が反例である。ページ情報
タイトル | 距離空間ならばハウスドルフ空間 |
URL | https://www.nomuramath.com/fs1izgfh/ |
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一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]