距離空間の定義

集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。

(a)非退化性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \]

(b)対称性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \]

(c)3角不等式

\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \]

また上の３つより、

(d)非負性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)\geq0 \]

が導かれる。