距離空間の定義
距離空間の定義
集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
(a)非退化性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \](b)対称性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \](c)3角不等式
\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \] また上の３つより、(d)非負性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)\geq0 \] が導かれる。任意の\(x,y\in X\)に対し、3角不等式より、\(d\left(x,x\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,x\right)\)となり、非退化性と対称性より、\(0\leq2d\left(x,y\right)\)となるので両辺を2で割って\(0\leq d\left(x,y\right)\)となる。
これより、非負性を満たす。
これより、非負性を満たす。
ページ情報
| タイトル | 距離空間の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z8txcqf7/ |
| SNSボタン |
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
\forall x\in X,\left(x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\right)
\]
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]