max・min関数の性質
max・min関数の性質
(1)
\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \](2)
\[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \](3)
\[ \max\left(a,b\right)=-\min\left(-a,-b\right) \](4)
\[ \min\left(a,b\right)=-\max\left(-a,-b\right) \](5)
\[ \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right)=\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \](6)
\[ \min\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right)=\left|c\right|\min\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \](1)(2)
\[ a+b=\max\left(a,b\right)+\min\left(a,b\right) \] \[ \left|a-b\right|=\max\left(a,b\right)-\min\left(a,b\right) \] これより、\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \] \[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \] が成り立つ。
(3)
\begin{align*} -\min\left(-a,-b\right) & =-\frac{1}{2}\left(-a+-b-\left|-a+b\right|\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)\\ & =\max\left(a,b\right) \end{align*}(4)
(3)より、\[ -\max\left(-a,-b\right)=\max\left(a,b\right) \] となる。
(5)
\begin{align*} \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right) & =\frac{1}{2}\left(\left|ca\right|+\left|cb\right|+\left|\left|ca\right|-\left|cb\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\frac{1}{2}\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \end{align*}(6)
(5)と同様にすればいい。ページ情報
タイトル | max・min関数の性質 |
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凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)
\]
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
巾関数の積分表現
\[
\frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]