max・min関数の性質

by nomura · 2023年2月14日

max・min関数の性質

(1)

\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \]

(2)

\[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \]

(3)

\[ \max\left(a,b\right)=-\min\left(-a,-b\right) \]

(4)

\[ \min\left(a,b\right)=-\max\left(-a,-b\right) \]

(5)

(6)

(1)(2)

\[ a+b=\max\left(a,b\right)+\min\left(a,b\right) \] \[ \left|a-b\right|=\max\left(a,b\right)-\min\left(a,b\right) \] これより、
\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \] \[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \] が成り立つ。

(3)

\begin{align*} -\min\left(-a,-b\right) & =-\frac{1}{2}\left(-a+-b-\left|-a+b\right|\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)\\ & =\max\left(a,b\right) \end{align*}

(4)

(3)より、
\[ -\max\left(-a,-b\right)=\max\left(a,b\right) \] となる。

(5)

\begin{align*} \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right) & =\frac{1}{2}\left(\left|ca\right|+\left|cb\right|+\left|\left|ca\right|-\left|cb\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\frac{1}{2}\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \end{align*}

(6)

(5)と同様にすればいい。

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真分数・仮分数・帯分数の定義

\[ \frac{1}{2},\frac{3}{3},\frac{4}{3} \]

指数型不等式

\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \]

エジプト式分数表示

任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。

分母に1次式がある方程式の厳密解

\[ \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \]