離散距離は距離空間

非退化性

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases}\\ & =d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)のとき、
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =0\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}\)のとき、
\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}\)または\(\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{z}\)なので、\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=1\)または\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)=1\)となるので、
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =1\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)でも\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}\)でも3角不等式を満たす。

-

これより、非退化性・対称性・3角不等式を満たすので離散距離は距離空間になる。