距離空間

pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

by nomura · 2023年5月6日

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pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

R^{n}

に対し距離関数

d : R^{n} \times R^{n}

\to R

を

p

-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち

m \in N

として、

\begin{aligned} d_{m} (x, y) & = {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} - y_{k} |}^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ = {‖ x - y ‖}_{m} \end{aligned}

で定めると、

(R^{n}, d_{m})

は距離空間になる。

m \to \infty

とすると

p

ノルムはチェビシェフ距離になる。
すなわち、

\begin{aligned} d_{\infty} (x, y) & := lim_{n \to \infty} d_{m} (x, y) \\ = max (| x_{1} - y_{1} |, | x_{2} - y_{2} |, \dots, | x_{n} - y_{n} |) \end{aligned}

が成り立つ。
これを示す。

a = max (| x_{1} - y_{1} |, | x_{2} - y_{2} |, \dots, | x_{n} - y_{n} |)

とおくと、

\begin{aligned} d_{\infty} (x, y) & = lim_{m \to \infty} d_{m} (x, y) \\ = lim_{m \to \infty} {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} - y_{k} |}^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ \leq lim_{m \to \infty} {(\sum_{k = 1}^{n} a^{m})}^{\frac{1}{m}} (∵ \forall k \in {1, 2, \dots, n}, | x_{k} - y_{k} | = a) \\ = lim_{m \to \infty} {(a^{m} n)}^{\frac{1}{m}} \\ = lim_{m \to \infty} a n^{\frac{1}{m}} \\ = a \end{aligned}

となり、また、

\begin{aligned} d_{\infty} (x, y) & = lim_{m \to \infty} d_{m} (x, y) \\ = lim_{m \to \infty} {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} - y_{k} |}^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ \geq lim_{m \to \infty} {(0^{m} + 0^{m} + \dots + a^{m} + \dots + 0^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ = a \end{aligned}

となるので、

a \leq d_{\infty} (x, y) \leq a

となる。
これより、

\begin{aligned} d_{m} (x, y) & = a \\ = max (| x_{1} - y_{1} |, | x_{2} - y_{2} |, \dots, | x_{n} - y_{n} |) \end{aligned}

となり題意は成り立つ。

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非退化性

x = y

のとき、明らかに

d_{m} (x, y) = 0

となるので

x = y \Rightarrow d_{m} (x, y) = 0

d_{m} (x, y) = 0

のとき、

\forall k, x_{k} = y_{k}

となり、明らかに

x = y

なので、

d_{m} (x, y) = 0 \Rightarrow x = y

となる。
故に

x = y \Leftrightarrow d_{m} (x, y) = 0

となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{aligned} d_{m} (x, y) & = {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} - y_{k} |}^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ = {(\sum_{k = 1}^{n} {| y_{k} - x_{k} |}^{m})}^{\frac{1}{m}} \\ = d_{m} (y, x) \end{aligned}

となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

ミンコフスキーの不等式より、

\begin{aligned} d_{m} (x, z) & = {‖ x - z ‖}_{m} \\ = {‖ x - y + y + z ‖}_{m} \\ \leq {‖ x - y ‖}_{m} + {‖ y + z ‖}_{m} \\ = d_{m} (x, y) + d_{m} (y, z) \end{aligned}

となるので3角不等式は満たされる。

-

これらより、

p

ノルムは非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間となる。

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タイトル	pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
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