pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を\(p\)-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち\(m\in\mathbb{N}\)として、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)\)は距離空間になる。
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を\(p\)-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち\(m\in\mathbb{N}\)として、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)\)は距離空間になる。
\(m\rightarrow\infty\)とすると\(p\)ノルムはチェビシェフ距離になる。
すなわち、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & :=\lim_{n\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} が成り立つ。
これを示す。
\[ a=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] とおくと、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \leq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\cmt{\because\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\left|x_{k}-y_{k}\right|=a}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(a^{m}n\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}an^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となり、また、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \geq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(0^{m}+0^{m}+\cdots+a^{m}+\cdots+0^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となるので、
\[ a\leq d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\leq a \] となる。
これより、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =a\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
すなわち、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & :=\lim_{n\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} が成り立つ。
これを示す。
\[ a=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] とおくと、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \leq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\cmt{\because\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\left|x_{k}-y_{k}\right|=a}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(a^{m}n\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}an^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となり、また、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \geq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(0^{m}+0^{m}+\cdots+a^{m}+\cdots+0^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となるので、
\[ a\leq d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\leq a \] となる。
これより、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =a\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、\(\forall k,x_{k}=y_{k}\)となり、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}-x_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
ミンコフスキーの不等式より、\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}+\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式は満たされる。
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これらより、\(p\)ノルムは非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間となる。
ページ情報
| タイトル | pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ecujtzi0/ |
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点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間