pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

by nomura · 2023年5月6日

pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を\(p\)-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち\(m\in\mathbb{N}\)として、

\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*}

で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)\)は距離空間になる。

非退化性

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、\(\forall k,x_{k}=y_{k}\)となり、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}-x_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*}

となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

ミンコフスキーの不等式より、

\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}+\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*}

となるので3角不等式は満たされる。