pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を\(p\)-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち\(m\in\mathbb{N}\)として、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)\)は距離空間になる。
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を\(p\)-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち\(m\in\mathbb{N}\)として、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*} で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)\)は距離空間になる。
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、\(\forall k,x_{k}=y_{k}\)となり、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}-x_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
ミンコフスキーの不等式より、\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}+\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式は満たされる。
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これらより、\(p\)ノルムは非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間となる。ページ情報
| タイトル | pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ecujtzi0/ |
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閉集合と収束列との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。
チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間