pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

by nomura · 2023年5月6日

pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
$\mathbb{R}^{n}$に対し距離関数$d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$$\rightarrow\mathbb{R}$を$p$-ノルム(一般化ユークリッド空間距離)、すなわち$m\in\mathbb{N}$として、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \end{align*} で定めると、$\left(\mathbb{R}^{n},d_{m}\right)$は距離空間になる。

$m\rightarrow\infty$とすると$p$ノルムはチェビシェフ距離になる。
すなわち、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & :=\lim_{n\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} が成り立つ。
これを示す。
\[ a=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] とおくと、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \leq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\cmt{\because\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\left|x_{k}-y_{k}\right|=a}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(a^{m}n\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}an^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となり、また、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\lim_{m\rightarrow\infty}d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & \geq\lim_{m\rightarrow\infty}\left(0^{m}+0^{m}+\cdots+a^{m}+\cdots+0^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =a \end{align*} となるので、
\[ a\leq d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\leq a \] となる。
これより、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =a\\ & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\left|x_{2}-y_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。

非退化性

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$のとき、明らかに$d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となるので$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$
$d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$のとき、$\forall k,x_{k}=y_{k}$となり、明らかに$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$なので、$d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$となる。
故に$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}-x_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

ミンコフスキーの不等式より、
\begin{align*} d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}+\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert _{m}\\ & =d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{m}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式は満たされる。