無限に掛けるとどうなる?
無限に掛けるとどうなる?
次の値を求めよ。
\[ 2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots=? \]
次の値を求めよ。
\[ 2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots=? \]
\begin{align*}
2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(2^{k}\right)^{\frac{1}{2^{k+1}}}\\
& =\prod_{k=1}^{\infty}\pow\left(2,\frac{k}{2^{k+1}}\right)\\
& =\pow\left(2,\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k}}\right)\\
& =\pow\left(2,-\frac{1}{2}\left[2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{da}\frac{1}{a^{k}}\right]_{a=2}\right)\\
& =\pow\left(2,-\frac{1}{2}\left[2\frac{d}{da}\frac{\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}\right]_{a=2}\right)\\
& =\pow\left(2,-\frac{1}{2}\left[2\frac{d}{da}\frac{1}{a-1}\right]_{a=2}\right)\\
& =\pow\left(2,\frac{1}{2}\left[2\frac{1}{\left(a-1\right)^{2}}\right]_{a=2}\right)\\
& =2
\end{align*}
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タイトル | 無限に掛けるとどうなる? |
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