(1)

開集合の定義\(\exists O\subseteq X,\forall a\in O,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O\)より、\(\forall a\in\emptyset\)は常に真なので、\(\emptyset\in\mathcal{O}\)となる。
また、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X\)も常に真なので、\(X\in\mathcal{O}\)となる。

(2)

\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\)のとき、任意の\(a\in O_{1}\cap O_{2}\)に対し、任意の\(k\in\left\{ 1,2\right\} \)に対し、\(\exists\epsilon_{k}>0,U_{\epsilon_{k}}\left(a\right)\subseteq O_{k}\)が成り立つ。
ここで、\(\epsilon=\min\left\{ \epsilon_{1},\epsilon_{2}\right\} \)とすると、任意の\(k\)に対し\(U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq U_{\epsilon_{k}}\left(a\right)\subseteq O_{k}\)が成り立つ。
これより、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O_{1}\cap O_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\)は開集合となる。

(3)

任意の\(a\in\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\)に対し、ある\(P_{0}\in\mathcal{P}\)が存在し\(a\in P_{0}\)となる。
条件より\(P_{0}\in\mathcal{O}\)なので、ある\(\epsilon>0\)が存在して、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq P_{0}\)となる。
これより、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq P_{0}\subseteq\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\)となるので\(\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\)は開集合となる。

(4)

反例で示す。
全体集合を実数全体の集合\(\mathbb{R}\)として通常の距離\(d\left(x,y\right)=\left|x-y\right|\)の距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)をとる。
このとき\(a\leq b\)となる実数をとり、\(P_{k}=\left(a-\frac{1}{k},b+\frac{1}{k}\right)\)ととると任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(P_{k}\)は開集合となる。
しかし、\(\bigcap_{k=1}^{\infty}P_{k}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(a-\frac{1}{k},b+\frac{1}{k}\right)=\left[a,b\right]\)となり開集合とはならない。
故に題意は一般的に成り立たない。