チェビシェフ距離は距離空間

非退化性

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)\\ & =\max\left(\left|y_{1}-x_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-x_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

1次元ユークリッド空間の3角不等式\(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\)を使うと、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|+\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)+\max\left(\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式が成り立つ。

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これより、チェビシェフ距離は非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間になる。