距離空間での開集合と閉集合の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)が与えられているとする。
\(x\in X\)での\(\epsilon\)-近傍を\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)で表す。

(1)開集合

任意の\(A\)の元\(x\)に対しある\(\epsilon>0\)が存在し\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A\)となるとき\(A\)を開集合という。
すなわち、
\[ \forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A \]
である。
これは、\(A\)の内部が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{i}\)となるのと同じである。

(2)閉集合

\(A\)の補集合\(A^{c}\)が開集合であるとき\(A\)を閉集合という。
また\(A\)の閉包が\(A\)に等しい、すなわち\(A=A^{a}\)となるとき\(A\)を閉集合でもよい。
これは
\[ \forall x\in A^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\emptyset \]
または、
\[ \forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset\rightarrow x\in A\right) \]
と同じである。