距離空間と位相空間の関係
距離空間と位相空間の関係
距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合族\(\mathcal{O}\)は位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)になる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合族\(\mathcal{O}\)は位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)になる。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
開集合\(O\)の定義\(\exists O\subseteq X,\forall a\in O,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O\)より、\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\)となる。任意の\(A,B\in\mathcal{O}\)に対し、\(\forall x_{1}\in A,\exists\epsilon_{1}>0,U_{\epsilon_{1}}\left(x_{1}\right)\subseteq A\)となり、同様に\(\forall x_{2}\in B,\exists\epsilon_{2}>0,U_{\epsilon_{2}}\left(x_{2}\right)\subseteq B\)となる。
このとき、任意の\(x\in A\cap B\)に対して、小さいほうの\(\epsilon\)-近傍は\(U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\)となるので、\(U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq\left(A\cap B\right)\Leftrightarrow U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq A\land U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq B\)\(\Leftrightarrow\top\)となり、開集合同士の有限積集合は開集合となる。
任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し\(O_{\lambda}\in\mathcal{O}\)とする。\(A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\)とおくと、\(A\)に含まれる任意の元\(x\in A\)はある\(\lambda_{0}\)が存在し、\(x\in O_{\lambda_{0}}\)となる。
これより、ある\(\epsilon\)-近傍\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)が存在し、\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq O_{\lambda_{0}}\)となり\(O_{\lambda_{0}}\subseteq A\)なので\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\)となり開集合同士の和集合は開集合になる。
これらより、題意は成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。\(2\leq\left|X\right|\)の密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化不可能であるので逆は一般的に成り立たない。
ページ情報
タイトル | 距離空間と位相空間の関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/urxsr0ys/ |
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一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]