1から5までの個数問題
1から5までの個数問題
?に数字をいれて正しい文章にしてください。
これからが対象です。
この文章には
1が?個
2が?個
3が?個
4が?個
5が?個
あります。
ここまでが対象です。
?に数字をいれて正しい文章にしてください。
これからが対象です。
この文章には
1が?個
2が?個
3が?個
4が?個
5が?個
あります。
ここまでが対象です。
全ての数字の合計より、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{5}ka_{k} & =\sum_{k=1}^{5}k+\sum_{k=1}^{5}a_{k}\\ & =\frac{5\left(5+1\right)}{2}+10\\ & =15+10\\ & =25 \end{align*} となり、
\begin{align*} \sum_{k=2}^{5}\left(k-1\right)a_{k} & =\sum_{k=1}^{5}\left(k-1\right)a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{5}ka_{k}-\sum_{k=1}^{5}a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{5}k\\ & =15 \end{align*} という関係もある。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{5}ka_{k} & =\sum_{k=1}^{5}k+\sum_{k=1}^{5}a_{k}\\ & =\frac{5\left(5+1\right)}{2}+10\\ & =15+10\\ & =25 \end{align*} となり、
\begin{align*} \sum_{k=2}^{5}\left(k-1\right)a_{k} & =\sum_{k=1}^{5}\left(k-1\right)a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{5}ka_{k}-\sum_{k=1}^{5}a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{5}k\\ & =15 \end{align*} という関係もある。
1の個数を\(a_{1}\)、2の個数を\(a_{2}\)、3の個数を\(a_{3}\)、4の個数を\(a_{4}\)、5の個数を\(a_{5}\)とする。
各数字は1つは含まれていて、全ての?が同じ数字、すなわち同じ数字が6個あることはないので、
\[ 1\leq a_{k}\leq5\;\left(k=1,2,3,4,5\right) \] 全ての数字は10個あるので、
\[ \sum_{k=1}^{5}a_{k}=10 \] となる。
\(a_{1}=5\)とすると、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(5,1,1,1,1\right)\)となり不適。
\(a_{2}=5\)とすると、\(\sum_{k=1}^{5}a_{k}>10\)となり不適。
同様に\(a_{3}=5\)も\(a_{4}=5\)も\(a_{5}=5\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq4\;\left(k=1,2,3,4\right) \] となる。
\(2\leq a_{5}\)とすると、どこかに5があることになるが、4以下でないといけないので不適となり、\(a_{5}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{4}a_{k}=9 \] となる。
\(a_{1}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{2},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 1,1,3\right\} \)となるが3が2つを満たさないので不適。
\(a_{2}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{1},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 2,2,2\right\} \)となるが\(\sum_{k=1}^{4}a_{k}>9\)となり不適。
同様に\(a_{3}=4\)も\(a_{4}=4\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq3\;\left(k=1,2,3\right) \] となる。
\(2\leq a_{4}\)とすると、どこかに4があることになるが、3以下でないといけないので不適となり、\(a_{4}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{3}a_{k}=8 \] となる。
これを満たす組み合わせは\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 2,3,3\right\} \)となるが、これで個数は1が3つ、2が2つ、3が3つになるので、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(3,2,3\right)\)となる。
故に\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(3,2,3,1,1\right)\)となる。
各数字は1つは含まれていて、全ての?が同じ数字、すなわち同じ数字が6個あることはないので、
\[ 1\leq a_{k}\leq5\;\left(k=1,2,3,4,5\right) \] 全ての数字は10個あるので、
\[ \sum_{k=1}^{5}a_{k}=10 \] となる。
\(a_{1}=5\)とすると、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(5,1,1,1,1\right)\)となり不適。
\(a_{2}=5\)とすると、\(\sum_{k=1}^{5}a_{k}>10\)となり不適。
同様に\(a_{3}=5\)も\(a_{4}=5\)も\(a_{5}=5\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq4\;\left(k=1,2,3,4\right) \] となる。
\(2\leq a_{5}\)とすると、どこかに5があることになるが、4以下でないといけないので不適となり、\(a_{5}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{4}a_{k}=9 \] となる。
\(a_{1}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{2},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 1,1,3\right\} \)となるが3が2つを満たさないので不適。
\(a_{2}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{1},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 2,2,2\right\} \)となるが\(\sum_{k=1}^{4}a_{k}>9\)となり不適。
同様に\(a_{3}=4\)も\(a_{4}=4\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq3\;\left(k=1,2,3\right) \] となる。
\(2\leq a_{4}\)とすると、どこかに4があることになるが、3以下でないといけないので不適となり、\(a_{4}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{3}a_{k}=8 \] となる。
これを満たす組み合わせは\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 2,3,3\right\} \)となるが、これで個数は1が3つ、2が2つ、3が3つになるので、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(3,2,3\right)\)となる。
故に\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(3,2,3,1,1\right)\)となる。
ページ情報
タイトル | 1から5までの個数問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/lijhhqtp/ |
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