距離空間ならば第1可算空間
距離空間ならば第1可算空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(x\in X\)に対し\(\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)の基本近傍系となり濃度は可算無限なので第1可算空間となる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例で示す。上限位相は第1可算空間であるが距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならば第1可算空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h66buev1/ |
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距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
距離空間ならば正規空間
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]