距離空間ならば第1可算空間

\(\Rightarrow\)

任意の\(x\in X\)に対し\(\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)の基本近傍系となり濃度は可算無限なので第1可算空間となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
上限位相は第1可算空間であるが距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。